Modélisation, analyse mathématique et simulations numériques de ...

tel-00656013, version 1 - 3 Jan 2012
1 Partie I : modélisation de fluides géophysiques à surface libre 13
Modèles classiques multicouches de type Saint-Venant
Dans les modèles classiques multicouches, l’objectif principal est de récupérer de l’information
sur le profil vertical des vitesses dans la couche de fluide, mais sans s’affranchir
des restrictions physiques du problème de Saint-Venant. Le principe général d’obtention
d’un tel système est, comme pour le modèle classique de Saint-Venant, d’intégrer l’équation
de conservation de la quantité de mouvement dans la direction verticale, mais cette
intégration s’effectue après une discrétisation verticale du volume de fluide. En d’autres
termes, il s’agit de découper la hauteur totale du fluide H en N couches :
H(t,x) =
N
hi.
La manière classique de procéder à ce « découpage », illustrée à la Figure 1.2 (pour N = 4),
consiste à suivre la surface libre, c’est-à-dire écrire la hauteur hi de la couche i comme une
fraction de la hauteur totale :
N
hi(t,x) = liH(t,x), avec 0 li 1, li = 1.
Ö×ÙÖ
i=1
C’est avec cette approche-ci que les premiers modèles multicouches (à un seul fluide) ont
z
z4+1/2 = η(t, x)
z3+1/2(t, x) u4(t, x)
z2+1/2(t, x)
z1+1/2(t, x)
z1/2 = zb(x)
0
u3(t, x)
u2(t, x)
u1(t, x)
i=1
H(t, x)
h4(t, x)
h3(t, x)
h2(t, x)
ÓØØÓÑ
h1(t, x)
Figure 1.2 – Approche multicouche classique.
été introduits. D’abord, E. Audusse propose en 2005 dans [12] une version sans échange
de masse entre les couches, c’est-à-dire que, pour chaque couche i, nous disposons de la loi
de conservation :
∂thi +∂x(hiui) = 0,
x