Modélisation, analyse mathématique et simulations numériques de ...

tel-00656013, version 1 - 3 Jan 2012
14 Introduction générale et présentation des travaux
où ui représente la vitesse du fluide dans la couche i, i.e. la moyenne sur la couche i de la
vitesse horizontale :
ui(t,x) = 1
hi
zi+1/2
z i−1/2
u(t,x,z)dz, 1 i N . (1.16)
Il apparaît que le système multicouche de [12] perd la propriété d’hyperbolicité, et s’apparente
davantage à un modèle de N fluides immiscibles plutôt qu’à celui d’un seul fluide.
C’est pourquoi E. Audusse, M.O. Bristeau, B. Perthame et J. Sainte-Marie introduisent
en 2010 dans [15] un autre modèle multicouche basé sur la même discrétisation verticale
(voir la Figure 1.2), mais avec un terme d’échange de masse entre les couches i et i+1, à
savoir :
∂thi +∂x(hiui) = w i+1/2 −w i−1/2.
Ce nouveau système s’avère être hyperbolique et plus consistant avec la physique du problème.
La stratégie pour l’obtenir est basée sur les mêmes hypothèses que [101] et [87] et
s’applique rigoureusement (formellement) dans le cas non visqueux. Pourtant, il subsiste
quelqu’incertitude dans le cas avec viscosité : avec la même hypothèse (1.13) que dans le
cas à une couche [101], on retrouve dans les modèles [?, 15] le terme visqueux de (??)
dans chaque couche, mais la justification mathématique de ce choix est plus délicate avec
plusieurs couches qu’avec une seule.
Outre la dérivation formelle des systèmes multicouches de [12] et [15], les auteurs en proposent
également une étude théorique : la question de l’hyperbolicité est soulevée et une
inégalité d’entropie similaire à l’estimation d’énergie du système de Saint-Venant classique
est établie.
Enfin, le traitement numérique proposé est un schéma cinétique et plusieurs propriétés du
schéma sont démontrées. Mais citons également d’autres travaux, essentiellement numériques,
qui démontrent l’efficacité de ces systèmes (en version bicouches au moins) pour
modéliser des zones côtières ou de détroits [14, 13, 11, 59, 104].
Si les auteurs de [12, 15] n’étudient pas précisément l’existence de solutions, il existe
cependant plusieurs résultats d’existence de solutions faibles pour des systèmes bicouches.
Comme évoqué précédemment, ces résultats sont basés sur les techniques de P. Orenga si
le terme visqueux est sous la forme µhi △ ui ou celles de D. Bresch et B. Desjardins s’il
est de la forme µdiv(hi∇ui). Citons par exemple les articles [64, 95, 151, 161] de 2003 à
2006 pour le premier cas, et l’article de 2009 [76] qui adapte la BD-entropie à un modèle
bicouche. Il est important de retenir que ces travaux concernent des modèles de deux fluides
immiscibles, qui possèdent donc deux lois de conservations de la masse, à savoir
∂thi +div(hiui) = 0,
ce qui est crucial pour l’obtention des estimations d’énergies supplémentaires. Mais nous
nous intéressons ici à un modèle multicouche pour un seul fluide : nous ne disposons plus
de N lois de conservation mais d’une seule sur la hauteur totale du fluide, comme dans le
modèle de [15].