Modélisation, analyse mathématique et simulations numériques de ...

tel-00656013, version 1 - 3 Jan 2012
20 Introduction générale et présentation des travaux
le paramètre de relaxation tend vers 0, le cadre choisi est celui des schémas préservant
l’asymptotique. Nous en donnons une définition et nous décrivons plusieurs stratégies déjà
développées et validées numériquement pour les équations cinétiques. Puis nous délaissons
les modèles cinétiques pour nous concentrer sur les problèmes hyperboliques de relaxation.
En effet, ils constituent un cadre cinétique simplifié (à vitesses discrètes) pour lequel une
analyse mathématique rigoureuse peut être plus facilement conduite. Nous examinons donc
plusieurs travaux effectués dans ce contexte, tant sur le plan continu que discret. Enfin,
nous introduisons notre modèle simplifié issu de la famille des problèmes hyperboliques de
relaxation et présentons notre schéma préservant l’asymptotique ainsi que nos résultats.
2.1 Motivation et état de l’art
Nous avons vu à la section précédente une description macroscopique d’un fluide. En
se plaçant à un autre niveau d’observation, à l’échelle mésoscopique, on regarde plutôt
l’évolution d’une fonction de distribution f(t,x,v), dépendant du temps, de l’espace et de
la vitesse des particules. C’est l’approche utilisée pour la description des gaz raréfiés. Les
équations qui en découlent sont les équations cinétiques, comme par exemple l’équation de
Boltzmann. Elle s’écrit, en version adimensionnée et pour un nombre de Mach ν ≡ 1 :
∂f
∂t + v ·∇xf = 1
ε Q(f,f). (Pε )
Cette équation traduit que les particules de gaz sont transportées à leur vitessev et rentrent
en collisions ; le mécanisme de collision est symbolisé par l’opérateur de collisions Q(f,f),
pondéré par un coefficient sans dimension 1/ε. Le paramètre ε, strictement positif, est
appelé le nombre de Knudsen. Il est défini comme le rapport entre le libre parcours moyen
et une dimension spatiale caractéristique de l’écoulement et « mesure » la fréquence de
collisions des particules, donc la raréfication du gaz : plus ε est proche de 0, plus il se
produit de collisions, et plus le comportement du gaz est proche de celui d’un fluide, c’està-dire
que la vision macroscopique devient plus pertinente pour le décrire : le gaz relaxe
vers un équilibre local caractérisé par :
Q(f,f) = 0.
Précisément, le régime asymptotique ε → 0 dans (P ε ) conduit aux équations d’Euler
compressibles. Concernant l’étude mathématique de cette limite hydrodynamique (5) , nous
renvoyons par exemple aux travaux formels de C. Cercignani [60], et à une preuve rigoureuse
pour des solutions régulières de R.E. Caflisch [53].
Cette « connaissance » du lien entre le problème cinétique et le problème hydrody-
namique au niveau continu va s’avérer cruciale dans le développement de méthodes numériques
pour le problème cinétique. En effet, une discrétisation (Pε h ) (où h représente le
paramètre de discrétisation) de l’équation (Pε ) est d’autant plus efficace et robuste qu’elle
reste stable pour toutes les valeurs du paramètre ε. Aussi est-il naturel de souhaiter qu’elle
5 Il existe d’autres limites hydrodynamiques : pour un nombre de Mach ν = ε, on obtient à la limite
ε → 0 les équations de Navier-Stokes incompressibles [21, 22, 23]