Modélisation, analyse mathématique et simulations numériques de ...

tel-00656013, version 1 - 3 Jan 2012
40 Introduction générale et présentation des travaux
Remarque 12. Notons au passage que cette entropie (convexe!) est bien également une
entropie « au sens hyperbolique » pour le système de relaxation (4.3). Elle est en outre
bien dissipative au sens de l’article de G.Q. Chen, T.P. Liu, et C.D. Levermore [65] : elle
confère en effet au terme source de relaxation le caractère dissipatif requis par la définition
de [65] (grâce au Théorème H).
En fait, avec cette fonctionnelle d’entropie, tout reste à faire. Si l’on souhaite montrer
la convergence vers l’équilibre hydrodynamique via une méthode d’entropie, le principe
général est le suivant :
• La première idée est de mesurer la distance à l’équilibre, non pas en norme L 1 comme
nous l’avons fait dans [94], mais plutôt « en entropie ». Il s’agit de montrer que
l’entropie relative,
H(f|M) := H(f)−H(M)−H ′ (M) (f −M)
tend vers 0 lorsque le paramètre ε tend vers 0 (ou lorsque t tend vers +∞).
• Pour ce faire, un outil primordial est la fonctionnelle de dissipation d’entropie D
définie par :
d
H(f(t,·)) := −1
dt ε D(f(t,·)).
On souhaite alors montrer que cette fonctionnelle contrôle, en un sens, l’entropie
relative. Il vient ensuite, en utilisant la définition de D que l’entropie relative vérifie
une inégalité différentielle, ce qui permet d’établir sa convergence vers 0, avec parfois
même un taux de convergence explicite.
• Enfin, on peut obtenir que la convergence en entropie implique la convergence en
norme L 1 , à l’aide d’inégalités de type Csisár-Kullback-Pinsker [74].
Ainsi, nous avons établi le programme qu’il nous faut suivre pour tenter de faire passer
tous les arguments au niveau discret. Evoquons pour terminer un autre travail (parmi
d’autres !) qui propose également d’appliquer ces techniques à un schéma exponentiel de
Runge-Kutta pour des équations cinétiques, celui de G. Dimarco et L. Pareschi [81].
4.2 Autour des modèles de fluides géophysiques à surface libre
Dans le prolongement du travail de la partie I, je m’apprête à intégrer, à Toulouse
sous la direction de J.-P. Vila, un groupe de recherche sur la modélisation et la prévision
de circulations océaniques. Il s’agit essentiellement du modèle primitif, mais prenant en
compte plus de paramètres physiques tels que la température et la salinité. L’objectif sera
de travailler à la fois sur le modèle mathématique et sur le code opérationnel déjà existant.
En parallèle, je souhaiterais étudier les équations des rivières, ou problème des roll
waves, plus particulièrement d’un point de vue numérique : serait-il possible d’appliquer
à ce système un schéma AP du même type que celui de la partie II? Il s’agit en effet du
problème de Saint-Venant sur un plan incliné avec une loi de friction quadratique [121, 179].