Modélisation, analyse mathématique et simulations numériques de ...

tel-00656013, version 1 - 3 Jan 2012
B.2 Estimations a priori 131
• H est quasi-monotone sur Ω,
• Pour presque tout (t,x) ∈ (0,T)×R, U et Ũ appartiennent à Ω.
Si U0 Ũ0, pour presque tout x ∈ R, alors U
B.2 Estimations a priori
Ũ pour presque tout (t,x) ∈ (0,T)×R.
Dans cette section, nous établissons des estimations sur (u ε ,v ε ) qui sont uniformes par
rapport au paramètre de relaxation ε. Nous omettrons la plupart du temps les exposants
ε par souci de clarté. L’obtention des estimations repose essentiellement sur la structure
hyperbolique et quasi-linéaire de la formulation diagonale du système (B.1.1), à savoir :
où w et z sont données par :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
tandis que le terme source s’écrit :
∂tw + √ a∂xw = 1
ε G(w,z),
∂tz − √ a∂xz = − 1
ε G(w,z),
(B.2.1)
w = −v − √ au, z = v − √ au, (B.2.2)
G(w,z) = R
Enfin, les conditions initiales du problème diagonal sont :
⎧
⎨ w(0,x) = w0(x) = −v0 − √ au0,
⎩
−w−z
2 √
−w+z
, . (B.2.3)
a 2
z(0,x) = z0(x) = v0 − √ au0.
(B.2.4)
Nous verrons en particulier que ce système est quasi-monotone au sens de la Définition 16
sous réserve que la condition sous-caractéristique (B.1.7) soit satisfaite.
B.2.1 Estimations L ∞
Proposition 18. (Estimations L ∞ )
Soient N0 défini par (B.1.10) et a0 > 0. Soit la fonction R ∈ C1 (R×R,R) vérifiant (B.1.3)
et (B.1.6). On choisit a > 0 et β > 0 tels que les conditions (B.1.11) soient vérifiées, à
savoir : ⎧⎪
√
⎨ a > max 1, √ a0, g(V(N0,a0))
,
β0(V(N0,a0))
⎪⎩
β = h(V(N0,a0)),