Modélisation, analyse mathématique et simulations numériques de ...

tel-00656013, version 1 - 3 Jan 2012
18 Introduction générale et présentation des travaux
Par ailleurs, si B désigne un espace de Banach, k un entier naturel et T une constante
positive, on note L k ∞(0,T;B) l’espace de Banach formé des fonctions f définies sur [0,T]
à valeurs dans B qui sont k fois différentiables par rapport à t et dont toutes les dérivées
sont bornées dans B. Voici le théorème que nous obtenons.
Théorème 5 (Chapitre 2, p. ??).
Considérons le système (1.24) avec les conditions initiales
(U,hN)(0,x) = (U 0 (x),h 0 N(x)) ∈ H 2 (R), (1.25)
où U = (u1 ... uN) T représente le vecteurs des vitesses. Supposons
inf
x∈R h0N (x) η0 > 0,
pour une constante positive η0 et notons E = 2(U 0 ,h 0 N)2. Supposons également la régularité
de la topographie zb ∈ C 2 (R). Alors, il existe un temps T > 0 tel que le problème de
Cauchy (1.24)-(1.25) possède une unique solution (U,hN) vérifiant :
En outre, pour tout t de [0,T],
U ∈ C(0,T;H 2 (R))∩C 1 (0,T;L 2 (R))∩L 2 0,T;H 3 (R) ,
hN ∈ C(0,T;H 2 (R))∩C 1 (0,T;H 1 (R)).
∀x ∈ R, hN(t,x) inf
x∈R h0 N (x) /2 > 0.
Enfin, on a les inégalités d’énergie suivantes :
(U,hN)(t)2 E,
t
U(τ)
0
2 3 dτ
1/2
E.
Remarque 6. La preuve de ce résultat utilise une deuxième formulation du problème, à
savoir un système de N équations paraboliques couplées avec une équation de transport
sur la hauteur de la dernière couche hN (voir le système (2.3.1), p. 54), et repose sur la
méthode d’énergie de Nishida et Matsumura [146]. En revanche, nous n’obtenons pas de
résultat d’existence de solution faible. Il se trouve en effet que les techniques employées par
D. Bresch et B. Desjardins [43] sont difficiles à généraliser à notre problème multicouche,
en particulier parce que nous ne disposons pas de N équations de conservations de la masse
et que nous ne pouvons établir suffisamment d’estimations d’énergies (voir la Section A.1
de l’Annexe A).
Remarque 7. Ce théorème est seulement local en temps et surtout contraint à l’hypothèse
de stricte positivité de la hauteur de la couche supérieure hN. Mais cela ne constitue pas
une faiblesse de notre modèle qui n’est pas destiné à décrire des zones sèches. Au contraire,
cette contrainte permet de fournir un comportement dynamique à notre modèle, en lui
ôtant ou ajoutant des couches si la hauteur hN devient trop petite ou trop grande. Nous
verrons dans les simulations numériques du Chapitre 3 comment le nombre de couches du
modèle peut varier au cours du temps.