Modélisation, analyse mathématique et simulations numériques de ...

tel-00656013, version 1 - 3 Jan 2012
Annexe A
Compléments sur l’étude du modèle
multicouche
Dans cette annexe, nous regroupons quelques compléments sur l’étude de notre nouveau
modèle multicouche de type Saint-Venant. Nous établissons à la Section A.1 une
inégalité d’énergie naturelle associée à notre modèle (en 1D), et expliquons les difficultés à
généraliser l’estimation de BD-entropie établie par D. Bresch et B. Desjardins [43] pour un
modèle classique de Saint-Venant. Enfin, nous proposons quelques simulations numériques
supplémentaires en 1D, notamment de solutions discontinues, à la Section A.2.
A.1 Sur l’énergie du système multicouche en 1D
Dans cette section, afin de simplifier l’écriture, nous revenons à notre modèle multicouche
1D et considérons une bathymétrie triviale ainsi que la définition des vitesses u i+1/2
comme moyenne arithmétique de ui+1 et ui (voir la remarque ??). L’équation « générique »
pour la couche i (1 i N) s’écrit donc
∂t(hiui)+∂x hiu 2 i +ghi∂xH = µ∂x(hi∂xui)
avec les conventions :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
u 1/2 = 0, u i+1/2 = ui+1 +ui
2
+u i−1/2w i−1/2 −u i+1/2w i+1/2
−2µ ui −ui−1
+2µ
hi +hi−1
ui+1 −ui
,
hi +hi+1
pour 1 ileqslantN −1, u N+1/2 = 0,
w1/2 = 0, wi+1/2 = −h
i∂xuk pour 1 ileqslantN −1, wN+1/2 = 0.
k=1
83
(A.1.1)
(A.1.2)