Modélisation, analyse mathématique et simulations numériques de ...

tel-00656013, version 1 - 3 Jan 2012
Résumé
Nous étudions dans cette thèse plusieurs aspects d’équations aux dérivées partielles
multi-échelles. Pour trois exemples distincts, la présence de multiples échelles, spatiales
ou temporelles, motive un travail de modélisation mathématique ou constitue un enjeu de
discrétisation.
La première partie est consacrée à la construction et l’étude d’un système multicouche de
type Saint-Venant pour décrire un fluide à surface libre (océan). Son obtention s’appuie sur
une analyse des échelles spatiales mises en jeu, en particulier sur l’hypothèse dite “eau peu
profonde” , classiquement utilisée dans le cas des fluides géophysiques. Nous justifions donc
nos équations, et montrons un résultat d’existence locale de solution. Puis nous proposons
un schéma volumes finis et des simulations numériques en vue de valider notre modèle.
Dans la deuxième partie, nous étudions un problème hyperbolique de relaxation, inspiré
de la théorie cinétique des gaz. La différence entre l’échelle temporelle du mécanisme de
transport et celui de la relaxation constitue un enjeu numérique crucial. Nous construisons
donc un schéma numérique via une stratégie “préservant l’asymptotique” : nous montrons
sa convergence pour toute valeur du paramètre de relaxation, ainsi que sa consistance avec
le problème à l’équilibre local. Des estimations d’erreurs sont établies et des simulations
numériques sont présentées.
La dernière partie traite un problème d’écoulement sanguin dans une artère avec stent,
modélisé par un système de Stokes dans un domaine contenant une petite rugosité périodique,
i.e. une géométrie double échelle. Pour éviter une discrétisation coûteuse du
domaine rugueux (l’artère stentée), nous formulons un ansatz de développement de la solution
type Chapman-Enskog, et obtenons une loi de paroi implicite sur le bord du domaine
lisse (l’artère seule). Nous montrons alors des estimations d’erreurs et des simulations
numériques.
Mots clés : analyse d’échelles, modèle multicouche de Saint-Venant, systèmes hyperboliques,
lois de conservation, volumes finis, relaxation, terme source raide, flux à variation
totale décroissante, schéma préservant l’asymptotique, couche limite, loi de paroi.