Modélisation, analyse mathématique et simulations numériques de ...

tel-00656013, version 1 - 3 Jan 2012
142 Système continu
où la dérivée partielle de R est calculée en un point (u(s),ξ), avec ξ ∈ (v(s); A(u(s))).
Ensuite, en passant au module et en intégrant en x sur l’intervalle [c,d], nous obtenons la
majoration :
d
c
|δ(t,x)| dx ≤ e −βt
ε
+ √ a
d
c
t d
0
|δ0(x)| dx +
c
t d
0
c
(β −β0)
|δ(s,x)| dx e
ε
−β(t−s)
ε ds
√a
|∂xu(s,x)| + |∂xv(s,x)| dx e −β(t−s)
ε ds.
Enfin, nous concluons en appliquant le Lemme de Gronwall et en utilisant l’estimation BV
obtenue au Corollaire 20. Cela entraîne le résultat pour des données initiales plus générales
à variations bornées et termine la preuve.
B.3 Convergence forte
Théorème 25. (Convergence vers l’équilibre local)
Sous les hypothèses précédentes, considérons (u ε ,v ε ) la solution faible globale du problème
de Cauchy (B.1.1)-(B.1.2) donnée par la Proposition 18. Alors il existe une solution
faible u du problème de l’équilibre (B.1.4) avec la condition initiale donnée par (B.1.5),
ainsi qu’une sous-suite encore notée (u ε ,v ε ), telles que, pour tout ν > 0 :
lorsque ε → 0+.
u ε → u dans C [0,∞[; L 1 loc (R) , (B.3.1)
v ε → A(u) dans C [ν,∞[; L 1 loc (R) , (B.3.2)
Démonstration. La solution (u ε ,v ε ) considérée appartient à l’espace C 0,T;L 1 loc (R) pour
tout T > 0. D’après les estimations obtenues à la section précédentes, uniformes en ε,
les familles (u ε )ε>0 et (v ε )ε>0 sont bornées dans L ∞ ∩ BV(R) pour presque tout t > 0.
Donc par le théorème de Helly elles sont relativement compactes dans L1 loc (R). En outre,
les résultats de la section précédente assurent qu’elles sont uniformément équicontinues en
temps, sur (0,∞) pour uε , et sur (ν,∞) pour vε (∀ν > 0).
Ainsi, pour tout T > 0, par le Théorème d’Ascoli, on peut en extraire des sous-suites
convergentes : dans C 0,T;L 1
loc pour uε 1
et dans C ν,T;L loc pour vε . Précisément, il
existe u et v telles que :
u ε → u, v ε → v.
Enfin, en utilisant l’estimation uniforme en ε (B.2.23) (de la Proposition 24) de la déviation
par rapport à l’équilibre, ainsi que la propriété de la fonction A (continue, localement
lipschitzienne) nous obtenons, par unicité de la limite :
v = A(u) .