Simulation numérique de l'essorage et du refroidissement d'un film ...

26 Chapitre 2 Modèles physiques
Pour fermer le système d’équations du problème (2.34) et (2.35) des relations ther-
modynamiques sont utilisées, en faisant l’hypothèse classique d’une dépendance de la
viscosité dynamique uniquement à la température.
2.3.2 La formulation 1-fluide exacte
Une formulation 1-fluide est obtenue en introduisant la variable 1-fluide exacte définie
comme la somme des phases pondérées par l’indicateur de phase :
φ =
k
χ k φk
(2.36)
Les équations de conservation de la masse et de la quantité de mouvement 1-fluide sont
obtenues en sommant les relations (2.34) et (2.35) sur toutes les phases de l’écoulement :
– Conservation de la masse
∂ρ
∂t
+ ∇ · (ρu) = ρ k W − u k · ∇χ k
k
(2.37)
Cette équation se simplifie en utilisant la condition de saut sur la masse (2.20) et
devient :
∂ρ
∂t
– Conservation de la quantité de mouvement
+ ∇ · (ρu) = 0 (2.38)
∂ρu
+ ∇ · (ρu ⊗ u + pId − τ) − ρg = (2.39)
∂t
k k k
ρ u ⊗ W − u − p k Id + τ k · ∇χ k
k
Là encore, cette équation (2.39) peut se simplifier en utilisant la relation de saut
(2.21) :
∂ρu
∂t + ∇ · (ρuu + pId − τ) − ρg = ∇s · n k σn k δi − ∇sσδi
(2.40)