Simulation numérique de l'essorage et du refroidissement d'un film ...

68 Chapitre 2 Modèles physiques
Le filtrage de cette équation fait apparaître un nouveau terme :
τC = u · ∇α k − u · ∇α k (2.192)
Dans la suite, la fonction couleur correspondant à α k sera notée Ck. Dans ce cas,
Ck = 1 et Ci=k = 0 dans chacune des phases. Pour un écoulement diphasique, C = 1 dans
une phase et C = 0 dans l’autre. L’équation (2.191) devient :
∂C
∂t
2.7.2.4 Dégénération du modèle
+ u · ∇C = 0 (2.193)
En filtrant les équations (2.14) et en injectant directement le champ de vitesse filtrée
u dans l’équation (2.193), on obtient un modèle beaucoup plus simple à utiliser :
∇ · u
∂u
ρ + (u · ∇)u
∂t
=
=
0
ρg − ∇p + ∇ ·
(2.194)
(µ + µsm)(∇u + ∇ T u)
(2.195)
∂C
+ u · ∇C
∂t
∂T
ρCp + (u · ∇)T
∂t
=
=
0
∇ ·
(2.196)
(λ + λsm)∇T
(2.197)
avec ρ = ρ0 et µ = µ0 si C ≥ 0, 5
ρ = ρ1 et µ = µ1 autrement
Ce système est communément utilisé dans la littérature pour traiter les écoulements
diphasiques turbulents. Nous avons dans une première approche négligé tous les termes
sous-maille résultant du filtrage du modèle d’écoulement diphasique, dont les valeurs
relatives n’ont pas été données ni discutées ici. C’est ce modèle qui sera utilisé pour
traiter le cas de l’essorage pneumatique au chapitre 4 avec toutes les approximations qu’il
sous-entend.
2.7.2.5 Discussions
Cette réflexion est un premier pas vers une modélisation complète de l’interaction
entre interface et turbulence. Les équations pour des systèmes sous-résolus ont été écrites
et analysées pour l’approche LES. Des termes spécifiques aux écoulements multiphasiques