Simulation numérique de l'essorage et du refroidissement d'un film ...

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74 Chapitre 3 Description et validation des méthodes numériques où L0, t0, u0 et p0 sont respectivement la longueur de référence spatiale, le temps, la vitesse et la pression. La constante K assure que le terme de lagrangien augmenté est deux ou trois ordres de magnitude plus grand que les autres contributions physiques dans les équations du mouvement. La méthode numérique de minimisation pour résoudre le lagrangien est l’algorithme d’Uzawa. Remarque : Dans la plupart des cas, 2 itérations du lagrangien suffisent à obtenir un résidu et une divergence corrects. Dans tous les cas il est intéressant d’imposer un nombre d’itérations du lagrangien plus important pour améliorer la robustesse du calcul. Cepen- dant, le calcul est d’autant plus long que le nombre d’itérations du lagrangien est important. Un bon compromis est de conserver 2 itérations du lagrangien mais d’augmenter le nombre d’itérations internes du solveur à 50 itérations pour obtenir une meilleure résolu- tion implicite des équations. Schémas temporels Les équations sont discrétisées implicitement en temps par le schéma d’Euler d’ordre 1 pour les écoulements stationnaires et par le schéma de Gear d’ordre 2 pour les écoule- ments instationnaires. La discrétisation est écrite de façon générale par l’utilisation des coefficients g1, g2 et g3 : n+1 ∂φ = ∂t g1φn+1 + g2φn + g3φn−1 ∆t (3.7) Un schéma d’Euler correspond à g1=1 et g2=-1, tandis qu’un schéma de Gear correspond à g1 = 3/2, g2 = −2, g3 = 1/2. Schémas spatiaux pour le terme d’inertie Concernant le traitement de l’inertie, il est connu que le schéma centré est précis au second ordre et préconisé pour les écoulements turbulents car seule la diffusion moléculaire intervient dans la dissipation de l’énergie. Cependant, il génère des instabilités dès qu’il y a de forts gradients et produit des ondes de dispersion. Sur les surfaces libres, de forts gradients de masse volumique induisent de fortes disparités de flux dans l’équation de Navier-Stokes. Nous utilisons dans un souci de stabilité un schéma hybride Upwind/Centré. Le schéma hybride est plus diffusif que le schéma centré mais plus stable pour des calculs en dipha- sique [Patankar 80].
3.2 Méthodes numériques 75 Solveurs La discrétisation implicite (3.5-3.22) implique la résolution numérique d’un système linéaire, qui est réalisée grâce à une procédure itérative de gradients conjugués (Bi- Conjugate Gradient Stabilized II, Bi-CGSTAB II) de Van Der Vorst [Vorst 92]. Le Bi- CGSTAB est préconditionné par une méthode Modified and Incomplete LU (MILU) [Gustafsson 78]. Le préconditionnement permet d’accélérer la convergence des calculs et il est très utile pour les écoulements complexes autour d’obstacles où un simple précon- ditionnement de type Jacobi peut s’avérer insuffisant ou beaucoup plus long à converger. 3.2.2 Résolution de l’équation de l’énergie L’équation de l’énergie est discrétisée implicitement vis-à-vis de la variable temporelle : ρCP T n+1 − T n ∆t + u n ∇T n+1 = ∇ · (λ + λsm)∇T n+1 (3.8) L’équation de l’énergie est discrétisée en espace par un schéma hybride sur les termes de convection et par un schéma centré pour la diffusion. Le solveur est un BICG STAB préconditionné par une méthode JACOBI. 3.2.3 Résolution de l’équation de transport 3.2.3.1 Revue des différentes méthodes Il existe deux grandes familles de méthodes de suivi d’interface, les méthodes lagrangiennes et les méthodes eulériennes. Méthodes lagrangiennes Les méthodes lagrangiennes sont réalisées sur maillage mobile. Elles permettent de représenter l’interface comme une discontinuité et de suivre son évolution de manière pré- cise. Le transport d’interface s’effectue soit en déformant le maillage au cours du calcul soit en régénérant le maillage après avoir advecté l’interface. L’avantage principal de cette méthode est le suivi très précis de l’interface qui permet d’imposer avec rigueur les condi- tions aux limites à l’interface et le rendu fidèle de la forme. Cependant ces méthodes sont limitées aux écoulements dans lesquels l’interface ne subit pas de grandes déformations, le cas contraire conduisant à des maillages trop déformés pour assurer une bonne résolution
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