Simulation numérique de l'essorage et du refroidissement d'un film ...

2.4 Modélisation des transferts thermiques 29
L’équation de l’énergie (2.50) devient :
ρ de
dt
Φ = − 2
3 µ(∇ · u)2 ∂ui
+ 2µDij
∂xj
(2.54)
ρ de
= −∇ · ϕ + −p∇ · u + Φ + q (2.55)
dt
représente la variation de l’énergie interne, −∇ · ϕ le flux de chaleur, p∇ · u les
effets de compressibilité, Φ la dissipation, et q est un terme source.
En introduisant l’enthalpie par unité de masse de fluide h = e + p/ρ :
ρ de
dt
= ρdh
dt
− ρ d
dt
p
ρ
En reportant cette expression dans l’équation de l’énergie (2.55) on obtient :
ρ dh
dt
et ρ dh
dt
= −∇ · ϕ + q + ρ
= −∇ · ϕ + q + dp
dt
D’après l’équation de continuité on a :
ρ dh
dt
1 dp
ρ dt
(2.56)
p
−
ρ2
dρ p
− (ρ∇ · u) + Φ
dt ρ2
p dρ
− + ρ∇ · u + Φ (2.57)
ρ dt
= −∇ · ϕ + q + dp
dt
Or l’enthalpie est fonction de p et de T , d’où :
dh
dt =
dh dT
dT p dt +
dh
dp T
+ Φ (2.58)
Les relations thermodynamiques suivantes servent à développer l’expression (2.59) :
dh
= Cp
dT p
dh
dp T
dp
dt
= 1
(1 − βT ) avec β = −1
ρ ρ
∂ρ
∂T p
(2.59)
(2.60)
β est le coefficient d’expansion thermique ou de dilatation cubique à pression constante.
L’équation de l’énergie prend alors sa forme finale :
ρCp
∂T
∂t
+ (u · ∇)T = −∇ · ϕ + βT dp
+ q + Φ (2.61)
dt
Exprimons le flux de chaleur ϕ à l’aide de la loi phénoménologique de Fourier liant les
flux aux forces en présence par les gradients de température :