Simulation numérique de l'essorage et du refroidissement d'un film ...

2.5 Modélisations de la turbulence 43
∂ui
∂t
∂
+ (uiuj) = −
∂xj
∂p
+ ν
∂xi
∂
∂xj
∂uj
∂xi
− ∂τij
∂xj
(2.111)
Le tenseur de sous-maille τ regroupe tous les termes qui ne sont pas exclusivement
dépendant des grandes échelles :
τij = Cij + Rij = uiuj − uiuj
– Décomposition de Leonard ou décomposition triple.
(2.112)
La deuxième approche suppose que tous les termes présents dans l’équation de
quantité de mouvement doivent pouvoir s’exprimer directement à partir des variables
filtrées. Ainsi, l’équation de la quantité de mouvement filtrée est :
∂ui
∂t
∂
+ (uiuj) = −
∂xj
∂p
+ ν
∂xi
∂
∂ui
∂xj ∂xj
+ ∂uj
−
∂xi
∂τij
∂xj
(2.113)
Le tenseur de sous-maille τ regroupe tous les termes qui ne sont pas exprimés directe-
ment à partir de u et s’exprime sous la forme d’un triple somme d’où la terminologie
de décomposition triple :
τij = Lij + Cij + Rij = uiuj − uiuj
(2.114)
Initialement, Leonard [Leonard 74] suggérait que le terme Lij était responsable d’un
tiers de la dissipation d’énergie des grandes échelles. Certains auteurs ont calculé ce
terme explicitement. Moin et Kim [Moin 82] appliquent un filtre explicite dans les
deux directions où une méthode pseudo-spectrale est employée. Dans la troisième
direction non homogène, le filtre implicite de maille est utilisé. Certains auteurs
choisissent de modéliser ce terme ainsi que le tenseur croisé [Kwak 75] [Clark 79]
[Germano 86] en utilisant des développements de Taylor et un opérateur de Laplace :
Lij = 1
24 ∆2 ∇ 2 (uiuj) + O(∆ 4 ) (2.115)
Cette approche reste moins précise que le calcul explicite de ces différents termes.
On exprime les équations de Navier-Stokes sous forme compacte :