Simulation numérique de l'essorage et du refroidissement d'un film ...

2.5 Modélisations de la turbulence 47
tionnelle. Dans ce cas, les petites échelles sont en équilibre et dissipent complètement et
instantanément toute l’énergie qu’elles reçoivent des échelles résolues. C’est la cascade
d’énergie directe. Il existe aussi, près des parois, une cascade d’énergie inverse d’intensité
plus faible, des échelles non résolues vers les échelles résolues.
L’hypothèse suivante est faite [Sagaut 98] : le mécanisme de transfert d’énergie des
échelles résolues aux échelles de sous-maille est analogue au mécanisme moléculaire re-
présenté par le terme de diffusion dans lequel la viscosité ν apparaît. Cette hypothèse
fait apparaître le concept de viscosité de sous-maille. Le concept de viscosité turbulente
existe depuis bien longtemps pour modéliser l’action du champ turbulent sur le champ
moyen (Boussinesq). Ce concept a été naturellement réintroduit pour modéliser l’action
des petites échelles sur les échelles résolues. Le sens physique réside dans l’analogie entre
l’agitation moléculaire traduite par un terme de viscosité dans l’équation de Navier-Stokes
et l’agitation turbulente dont le terme correspondant sera d’un ordre plus élevé. En effet,
dans le processus de cascade énergétique l’action des petites échelles est de dissiper l’éner-
gie contenue dans les grandes. Dans la LES, les grandes échelles étant les seules à être
calculées explicitement, on compense le niveau de dissipation énergétique en augmentant
la valeur de la viscosité.
Ainsi, le mécanisme de cascade énergétique est modélisé par un terme ayant une for-
mulation mathématique identique à cette de la diffusion moléculaire mais dans laquelle la
viscosité moléculaire est remplacée par une viscosité turbulente ou viscosité de sous-maille
notée µsm. L’équation de Navier-Stokes filtrée est réécrite en introduisant cette viscosité :
∂u
ρ + (u · ∇)u
∂t
= ρg − ∇p∗ + ∇ · (µ + µsm)(∇u + ∇ T u)
∇ · u = 0
(2.127)
La formulation utilisée est similaire à celle développée dans les fermetures statistiques
du premier ordre basées sur l’hypothèse de Boussinesq de viscosité turbulente. Ainsi la
partie déviatrice τD du tenseur des contraintes de sous-maille τ est reliée au tenseur des
déformations du champ résolu S par la relation :
τD = −2µsmS (2.128)
avec τD = τ − 1
3 Tr(τ)Id
avec S = 1
2 (∇u + ∇T u)