Simulation numérique de l'essorage et du refroidissement d'un film ...

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62 Chapitre 2 Modèles physiques ∂α k ρ k u k ∂t + ∇ · α k ρku k ⊗ uk k + α p k k Id − α τ k − α k ρ kg = (2.158) (ρ k u k ⊗ (W − u k ) − p k Id + τ k ) · n k δi L’évolution de la fonction d’indication de phase doit être ajoutée à ces trois équations classiques : ∂αk ∂t = W · nkδi (2.159) Les termes non-linéaires doivent être modélisés puisqu’aucun d’eux ne peut être calculé directement. Dans la partie gauche de l’équation les termes pondérés de phase non-linéaires sont introduits tandis que dans la partie droite se trouvent les termes interfaciaux filtrés. Concernant la formulation multi-fluide, c’est-à-dire un système d’équations pour chaque phase, φ est mieux définie de la façon suivante : On obtient ainsi le système d’équation suivant : ∂β k u k ∂t ∂β k ∂t + ∇ · + ∇ · β k φ k = χ k ρ k φ k (2.160) avec β k = χ k ρ k (2.161) β k u k = ρk (W − uk ) · nkδi (2.162) β k uk ⊗ uk + χkpkId − χkτ k − β k g = (2.163) (ρ k u k ⊗ (W − u k ) − p k Id + τ k ) · n k δi Avec cette formulation, les termes non-linéaires n’apparaissent pas dans les dérivées en temps. Pour construire une formulation 1-fluide filtrée, définissons φ comme le filtrage de la variable 1-fluide proposée dans l’équation (2.36): φ = k χ k φ k (2.164) En utilisant cette définition et en sommant les équations d’évolution sur toutes les phases, nous obtenons :
2.7 Couplage LES/diphasique 63 ∂ρ ∂t + ∇ · (ρu) = (ρk (W − uk ) · nkδi) (2.165) ∂ρu ∂t k + ∇ · (ρu ⊗ u + pId − τ) − ρg (2.166) = (ρkuk ⊗ (W − uk ) − pkId + τ k ) · nkδi (2.167) k Les quantités présentes dans la partie droite des équations (2.165) et (2.166) sont les quantités filtrées des conditions de saut définies dans les équations (2.20) et (2.21). Les expressions (2.20) et (2.21) peuvent ainsi être utilisées pour remplacer les quantités dans le terme de droite de la précédente équation. Il est plus convenable d’utiliser comme inconnue la moyenne de Favre [Favre 76] pour le champ de vitesse. Dans ce cas, une nouvelle définition pour le filtrage de u est employée : u = ρu (2.168) ρ La discussion au sujet du choix de la meilleure façon de procéder au filtrage est large- ment abordée dans les proceedings de Labourasse et al. [Labourasse 04b] et elle est appro- fondie dans l’article dont sont extraites les formulations présentées ici [Labourasse 04a]. 2.7.2.2 Fermeture La fermeture du système est très compliquée et rend la thématique du filtrage pour les écoulements multiphasiques très riche. Les termes de fermeture peuvent être classifiés selon trois catégories : – Les termes de sous-maille classiques, qui rendent compte de l’effet des corrélations des échelles de sous-maille sur la partie résolue, et qui apparaissent dans les équations par les non-linéarités. Ils sont coutumiers des études de turbulence monophasique, et la quantité de travail de modélisation déjà réalisée dans ce domaine [Sagaut 98] peut être utilisée. Cependant, la classification hiérarchique dans la magnitude des contri- butions des échelles de sous-maille proposée par Vreman et al. [Vreman 95] peut ne pas être adaptée près de l’interface. Toute nouvelle modélisation doit conduire à une modélisation classique dans les zones monophasiques. – Les termes de sous-maille purement interfaciaux, qui tiennent compte des contri- butions sous-maille des caractéristiques de l’interface à l’évolution de l’écoulement.
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