Simulation numérique de l'essorage et du refroidissement d'un film ...

48 Chapitre 2 Modèles physiques
Le tenseur 1
1
Tr(τ)Id = 3 3τkkδij est ajouté au terme de pression statique filtré, il n’a
par conséquent pas à être modélisé. La pression p∗ est alors définie de la façon suivante :
p ∗ = p + 1
3 τkk
(2.129)
La pression modifiée et la pression filtrée peuvent prendre des valeurs très différentes
quand l’énergie cinétique de sous-maille généralisée devient grande [Kaneda 83].
Le problème de fermeture consiste à définir la viscosité de sous-maille νsm = µsm
ρ qui
doit être modélisée en fonction des variables résolues. L’hypothèse la plus communément
admise est qu’il suffit pour définir la viscosité de sous-maille d’une longueur et d’un temps
caractéristiques respectivement notés l0 et t0. Pour des écoulements turbulents homogènes,
l’hypothèse de longueur de mélange de Prandtl conduit à l’écriture suivante :
Modèle de Smagorinsky
νsm = l2 0
t0
(2.130)
Smagorinsky a élaboré un modèle pour simuler les mouvements à grandes échelles de
l’atmosphère. Son modèle [Smagorinsky 63] est le plus ancien et le plus communément
utilisé. Il consiste à supposer que la longueur de coupure ∆ est caractéristique des échelles
de sous-maille et donc de l0. Smagorinsky en déduit une relation entre l0 et ∆ :
l0 = CS∆ (2.131)
CS est la constante du modèle appelée constante de Smagorinsky.
La constante de temps t0 est déterminée grâce à l’équilibre local existant entre le taux
de production d’énergie cinétique P , le taux de dissipation d’énergie cinétique ε et le flux
d’énergie cinétique à travers le filtre.
La production d’énergie cinétique P est :
P = −τijSij = 2νsmSijSij
(2.132)
Dans ces conditions, le temps caractéristique des échelles non résolues est égal à celui
des échelles résolues, il est donné par le temps de retournement d’une grosse structure :
1
t0
=
2SijSij
(2.133)