Simulation numérique de l'essorage et du refroidissement d'un film ...

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80 Chapitre 3 Description et validation des méthodes numériques Nous obtenons finalement l’expression de C au temps t + 1 : C n+1 i = Cn i − u ∆t ∆x (Cn i − C n i−1) + 1 ∆t ∆t u ∆x(u 2 ∆x ∆x − 1)(γn i − γ n−1 i ) (3.16) Une fois le choix de la pente γ n i effectué, l’équation d’advection est complètement dis- crétisée par l’expression (3.16). γ n,LW i = Cn i+1 −Cn i ∆x correspond à la pente de Lax-Wendroff. Cette pente est choisie comme référence en raison des propriétés intéressantes du schéma Lax-Wendroff dans la plupart du domaine (loin des discontinuités). Il reste à forcer un ordre 1 près des discontinuités en limitant la pente γ n,LW i la nouvelle pente limitée s’exprime de la façon suivante : γ n,T i = max(0, min(1, 2θn i ), min(2, θ n i )) Cn i+1 − C n i ∆x = Cn i+1 −Cn i ∆x . Soit θ n i = Cn i −Cn i−1 C n i+1 −Cn i = φ(θ n i )γ n,LW i (3.17) En réalité, φ(θn i )γ n,LW i est un flux correctif égal à 1 dans tout le domaine considéré sauf près des limites où ce flux prend la valeur de la pente Lax-Wendroff. Le schéma TVD construit ci-dessus est appelé schéma TVD SUPERBEE. L’expression finale en 1 dimension est la suivante pour tout u : C n+1 i = C n i (3.18) − ∆t ∆x max(0, u)(Cn i − C n i−1) + 1 ∆t ∆t ∆xmax(0, u)(u 2 ∆x ∆x − 1)(φni γ n,LW i − φ n i−1γ n,LW i−1 ) − ∆t ∆x min(0, u)(Cn i+1 − C n i ) + 1 ∆t ∆t ∆xmin(0, u)(u 2 ∆x ∆x + 1)(φni+1γ n,LW i+1 − φni γ n,LW i ) Ce schéma permet de corriger les inconvénients du schéma du premier ordre (diffusion) ainsi que ceux du schéma du deuxième ordre (oscillations). Son implémentation dans le code est validée à la section 3.3.2. VOF-PLIC La méthode VOF-PLIC est régie par l’algorithme suivant : – la reconstruction de la représentation de la surface libre à partir de la fraction volumique. C’est ce qui fait la spécificité des méthodes VOF. A chaque itération on ne connaît pas la position de la surface libre mais grâce à cette étape le champ de fraction volumique permet la reconstruction géométrique affine de l’interface par morceaux et la détermination de sa position exacte.
3.2 Méthodes numériques 81 – le transport de l’interface à l’aide d’une méthode lagrangienne. C’est l’étape d’advection, l’interface reconstruite est transportée en utilisant la vitesse du fluide. – le calcul du nouveau champ de fraction volumique. On évalue les flux volumiques qui passent entre les différentes cellules pour construire le nouveau champ de fraction volumique. Comparaison des deux méthodes Dans la méthode VOF-PLIC, l’interface est approchée par un segment (en dimension 2) et par un plan (en dimension 3). La force de cette méthode est la reconstruction de l’interface qui se fait en fonction de son orientation et de la fraction volumique. Ainsi, par rapport à des méthodes qui utilisent des schémas de discrétisation (schéma UPWIND, QUICK, VOF-TVD) on élimine totalement le phénomène de diffusion numérique, et par rapport à d’autres méthodes VOF (VOF SLIC) on suit l’interface de façon plus précise. Néanmoins, le schéma VOF-PLIC contient des tensions superficielles parasites qui viennent détruire l’interface. Ce phénomène est d’autant plus marqué que les fluides sont peu visqueux [Rider 95]. Le schéma VOF-TVD est plus diffusif dans les zones de cisaillement mais plus stable du point de vue de la surface libre. Les méthodologies numériques VOF-PLIC et VOF-TVD ont déjà été validées sur divers problèmes d’advection de surfaces libres [Vincent 00] [Vincent 99b] [Breil 01] et le seront à nouveau à la section 3.3.2. Appliquées à notre travail, ces remarques permettent de justifier les orientations prises. En effet, le fluide étudié dans cette thèse a une tension très élevée (10 fois celle de l’eau), une viscosité relativement faible (celle de l’eau), se présente comme un film fin et très allongé (200µm d’épaisseur sur 1 m de hauteur) dont l’interface est perturbée violemment par un jet turbulent. Dans ces conditions, le schéma VOF-PLIC induit un fractionnement en petites gouttes du film lors de l’interaction entre le jet turbulent et l’interface. Au contraire, un schéma VOF-TVD ne va pas générer ces gouttes grâce à son intrinsèque diffusion numérique mais va avoir tendance à provoquer une diminution de l’épaisseur au cours du temps. Un compromis a été choisi : en fonction des cas que l’on souhaite simuler l’une ou l’autre des méthodes est employée. Dans la plupart des cas, le schéma VOF-TVD est utilisé en raison du problème de génération de gouttelettes qui sont advectées dans le domaine à des vitesses telles qu’il est impossible de résoudre correctement l’écoulement.
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