Simulation numérique de l'essorage et du refroidissement d'un film ...

66 Chapitre 2 Modèles physiques
La première stratégie donne les termes de sous-maille suivants, sachant que pour les
termes apparaissant dans la partie droite des équations (2.162), (2.163), (2.20) et (2.21),
la notation (2.169) n’est plus correcte et n’est plus respectée :
τ k dρ = ρ k (W − u k ) · n k δi − α k ρ k α k
W − u k · nk (2.176)
τ k duu = (ρkuk ⊗ (W − uk ) − pkId + τ k ) · nkδi (2.177)
− α k
ρ k k
α u k k
α W − u k + α k
p kId + 2α
k µ k k
α S k
D · nk τ k dχ = W · n k δi − W · n k (2.178)
Ces deux étapes de modélisation permettent d’obtenir le système d’équations suivant :
∂ρ
∂t + ∇ · (ρ u + τgρu) =
k
k
α k
ρ k k
α W − u k · nk
+
k
τ k dρ
(2.179)
∂ (ρ u + τgρu)
+ ∇ ·
∂t
ρ u ⊗ u + pId − 2µSD + τgρuu + τgµS − ρg = (2.180)
α k
ρ k k
α u k k
⊗ α W − u k + α k
p kId − 2α
k µ k k
α S k
D · nk
+
τ k duu
k
W · n k
+
τ k dχ = 0 (2.181)
Dans les équations (2.179) et (2.180), le premier terme dans la partie de droite cor-
respond à la condition de saut, en utilisant les variables filtrées (voir la partie gauche
des équations (2.20) et (2.21)). En conséquence, la fermeture du système nécessite d’une
part la fermeture de tous les termes sous-maille et d’autre part une condition de saut
approximative à travers l’interface.
La seconde stratégie réside dans l’utilisation de conditions de saut exactes données
par les équations (2.20) et (2.21) pour dériver un nouveau système d’équations filtrées.
Notons que l’erreur de commutation entre le filtre et les dérivées surfaciques ne peuvent
généralement pas être supposées nulles. Le gradient surfacique et la divergence généralisés
sont définis ainsi :
k
∇sϕ = (Id − n ⊗ n) · ∇ϕ ⇐⇒ ∇sϕ = (Id − n ⊗ n) · ∇ϕ (2.182)
∇s · ψ = (Id − n ⊗ n) : ∇ψ ⇐⇒ ∇s · ψ = (Id − n ⊗ n) : ∇ψ (2.183)
k