Simulation numérique de l'essorage et du refroidissement d'un film ...

62 Chapitre 2 Modèles physiques
∂α k ρ k u k
∂t
+ ∇ ·
α k
ρku k ⊗ uk k
+ α p k k
Id − α τ k − α k ρ kg = (2.158)
(ρ k u k ⊗ (W − u k ) − p k Id + τ k ) · n k δi
L’évolution de la fonction d’indication de phase doit être ajoutée à ces trois équations
classiques :
∂αk ∂t = W · nkδi (2.159)
Les termes non-linéaires doivent être modélisés puisqu’aucun d’eux ne peut être calculé
directement. Dans la partie gauche de l’équation les termes pondérés de phase non-linéaires
sont introduits tandis que dans la partie droite se trouvent les termes interfaciaux filtrés.
Concernant la formulation multi-fluide, c’est-à-dire un système d’équations pour chaque
phase, φ est mieux définie de la façon suivante :
On obtient ainsi le système d’équation suivant :
∂β k u k
∂t
∂β k
∂t
+ ∇ ·
+ ∇ ·
β k φ k = χ k ρ k φ k (2.160)
avec β k = χ k ρ k (2.161)
β k
u k = ρk (W − uk ) · nkδi (2.162)
β k
uk ⊗ uk + χkpkId − χkτ k − β k g = (2.163)
(ρ k u k ⊗ (W − u k ) − p k Id + τ k ) · n k δi
Avec cette formulation, les termes non-linéaires n’apparaissent pas dans les dérivées
en temps.
Pour construire une formulation 1-fluide filtrée, définissons φ comme le filtrage de la
variable 1-fluide proposée dans l’équation (2.36):
φ =
k
χ k φ k (2.164)
En utilisant cette définition et en sommant les équations d’évolution sur toutes les
phases, nous obtenons :