analyse et fonctionnement des systemes d'energie ... - Montefiore

oùφ x (resp. φ p) est la matrice jacobienne deφpar rapport àx(resp. p), de dimensionsn×n
(resp. n×m).
Supposant que la matriceφ x n’est pas singulière, on tire de (7.23):
Une linéarisation de la fonctionη(x,p) donne par ailleurs:
soit, sous forme matricielle:
où:
∇pη =
dx = −φ −1
x φ pdp (7.24)
dη = ∂η
dpi +
∂pi
∂η
dxi
∂xi
i
i
dη = dp T ∇pη +dx T ∇xη (7.25)
⎡
⎢
⎣
∂η
∂p1
.
∂η
∂pm
En introduisant (7.24) dans (7.25), on a:
dη = dp T ∇pη −dp T φ T
p
φ T
x
⎤
⎥
⎦
∇xη =
⎡
⎢
⎣
∂η
∂x1
.
∂η
∂xn
⎤
⎥
⎦
−1 ∇xη = dp T
∇pη −φ T
p
relation qui fournit directement les sensibilités recherchées:
Sηp = ∇pη −φ T
p
En pratique, la procédure pour calculer ces sensibilités est la suivante:
1. calculer ∇xη
φ T
x
φ T
x
−1
∇xη
−1
∇xη (7.26)
2. la matriceφx étant disponible sous forme factorisée à l’issue de l’algorithme de Newton,
résoudre le système linéaire:
φ T
x y = ∇xη
par substitution
3. calculer Sηp = ∇pη−φ T
p y.
Comme on le voit, il est possible d’obtenir le vecteur des sensibilités en effectuant une seule
opération de substitution.
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