analyse et fonctionnement des systemes d'energie ... - Montefiore

Sous cette hypothèse flux et courants sont liés par:
ψ T
ψ r
=
LTT(θ) LTr(θ)
LT Tr (θ) Lrr
iT
ir
(8.7)
dans laquelle θ est la position angulaire du rotor, définie par convention comme l’angle entre
l’axe direct du rotor et l’axe de la phasea(voir figures 8.4 et 8.5).
Les matrices d’inductancesLTT etLTr dépendent de la position du rotor. Ce n’est pas le cas de
la matriceLrr étant donné que, vu du rotor, le stator se présente toujours de la même manière,
quelle que soit la position du rotor (on néglige ici l’effet des encoches dans lesquelles sont
logés les conducteurs).
Les composantes de LTT(θ) et LTr(θ) sont évidemment des fonctions périodiques. Développées
en série de Fourier, celles-ci comportent, en principe, des harmoniques spatiaux. Comme
mentionné à la section 2.6, on s’arrange en pratique pour rendre ces harmoniques aussi faibles
que possible. Nous les négligerons donc, ce qui conduit au modèle de machine sinusoïdale
dans lequel les matrices d’inductances prennent la forme suivante:
⎡
L0 +L1cos2θ −Lm −L1cos2(θ+
⎢
LTT(θ) = ⎣
π
6 ) −Lm −L1cos2(θ− π
6 )
−Lm −L1cos2(θ+ π
6 ) L0 +L1cos2(θ− 2π
3 ) −Lm −L1cos2(θ+ π
2 )
−Lm −L1cos2(θ− π
6 ) −Lm −L1cos2(θ+ π
2 ) L0 +L1cos2(θ+ 2π
3 )
⎤
⎥
⎦
⎡
Laf cosθ Lad1cosθ Laq1sinθ Laq2sinθ
⎢
LTr(θ) = ⎣ Laf cos(θ− 2π
3 ) Lad1cos(θ − 2π
2π ) Laq1sin(θ− 3 3 ) Laq2sin(θ − 2π
3 )
Laf cos(θ + 2π
2π
2π
2π
) Lad1cos(θ+ ) Laq1sin(θ+ ) Laq2sin(θ+ 3 3 3 3 )
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
Lrr = ⎢
⎣
Lff Lfd1 0 0
Lfd1 Ld1d1 0 0
0 0 Lq1q1 Lq1q2
0 0 Lq1q2 Lq2q2
Dans ces expressions, toutes les constantes L sont positives, les signes − adéquats ayant été
introduits. Partant de la figure 8.4, ces différentes expressions se justifient comme suit:
• la self-inductance de la phase statoriqueaest maximale quand l’axe direct coïncide avec
l’axe de cette phase (θ = 0). En effet, les lignes de champ (dont le contour est esquissé à
la figure 2.10) trouvent alors le chemin maximal dans le matériau ferromagnétique. Pour
la même raison, la self-inductance est minimale quand l’axe en quadrature coïncide avec
l’axe de la phase a (θ = π/2). Par ailleurs, un retournement de 180 degrés du rotor ne
modifie pas cette self-inductance;
• les self-inductances des phases b et c se déduisent de celle de la phase a en remplaçant
simplementθ parθ±2π/3;
116
⎤
⎥
⎦