analyse et fonctionnement des systemes d'energie ... - Montefiore

En considérant une ligne sur deux dans (4.6) et en regroupant les colonnes, on obtient aisément:
⎡ ⎤ ⎡
1 µr 1
ψa ⎢ ⎥ ⎢ +ln ln 2 4 dr
⎢ ⎥ µ0 ⎢
⎢ ψb ⎥ = ⎢
⎣ ⎦ ⎢
2π ⎣
ψc
1 ln dab
1
dac
1 µr 1 +ln ln 2 4 dr
1
⎤⎡
⎤
⎥ ia
⎥⎢
⎥
⎥⎢
⎥
dbc ⎥⎢
ib ⎥
⎦⎣
⎦
1 µr 1 +ln ic
2 4 dr
⎡
⎤⎡
⎤
= µ0
2π
⎢
⎣
µr
8
1 +ln √
dr
µr
8
ln 1
dab
+ln 1
√ dr
L’expression √ dr est appelée rayon moyen géométrique 4 .
µr
8
ln 1
dac
ln 1
dbc
+ln 1
√ dr
⎥ ia
⎥⎢
⎥
⎥⎢
⎥
⎥⎢
ib ⎥
⎦⎣
⎦
ic
(4.7)
En comparant (4.2) et (4.7), on voit que l’utilisation des deux conducteurs au lieu d’un seul,
toute autre chose restant égale, n’affecte pas les inductances mutuelles mais diminue la self
inductance d’une phase. En effet, le terme de self-induction à l’intérieur de chaque conducteur
est divisé par deux et, surtout, le rayonrest remplacé par le rayon moyen géométrique, qui est
nécessairement plus grand (vu qued > r).
Ligne triphasée transposée à faisceau de conducteurs
Lorsque l’on combine les techniques de transposition et de faisceau, la matrice d’inductance
de la ligne devient :
L = µ0
⎡
⎤⎡
⎤
µr
⎢ +ln √1 1 1 ln 8 dr
3√ ln 3√
dabdacdbc dabdacdbc
⎢
⎥ ia
⎥⎢
⎥
⎢
µr 1
⎢ +ln √ 1 ln ⎥⎢
⎥
2π
8
⎣
dr
3√
dabdacdbc
⎥⎢
ib ⎥ (4.8)
⎦⎣
⎦
µr
8
qui fait intervenir la distance et le rayon moyens géométriques.
+ln 1
√ dr
Les inductances mutuelles étant à nouveau toutes égales, on peut calculer l’inductance linéique
par phase (en H/m) :
ℓ = µ0
2π
µr
8
+ln 1
√ dr −ln
1
3√ =
dabdacdbc
µ0
µr
2π 8 +ln
qui est plus petite que celle de la ligne triphasée simple (donnée par (4.5)).
Discussion
ic
3√
dabdacdbc
√
dr
(4.9)
L’impédance que présente un réseau de transport contribue à limiter la puissance transmissible
par celui-ci, à cause de la chute de tension qu’elle entraîne. Les résultats ci-dessus montrent
4 en anglais : Geometric Mean Radius (GMR)
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