Analisis Rangkaian Rangkaian Listrik - Ee-cafe.org

10.2. Transformasi Fourier
10.2.1. Spektrum Kontinyu
Deret Fourier, yang koefisiennya diberikan oleh (10.12) hanya
berlaku untuk sinyal periodik. Sinyal-sinyal aperiodik seperti sinyal
eksponensial dan sinyal anak tangga tidak dapat direpresentasikan
dengan deret Fourier. Untuk menangani sinyal-sinyal demikian ini
kita memerlukan transformasi Fourier dan konsep spektrum
kontinyu. Sinyal aperiodik dipandang sebagai sinyal periodik dengan
perioda tak-hingga.
Jika diingat bahwa ω 0 = 2π/T 0 , maka (10.13) menjadi
∞
⎛ 1 T0
/ 2
f ( t)
= ∑
⎜
∫−
=−∞⎝
T
n 0 T0
/ 2
∞
1 ⎛ T0
/ 2
= ∑ ⎜
2π
∫−
n=−∞⎝
T0
/ 2
− jnω
⎞
0t
⎟ jnω0t
f ( t)
e dt
e
⎠
− jnω
⎞
0t
jnω0t
f ( t)
e dt ⎟ ω0
e
⎠
(10.14)
Kita lihat sekarang apa yang terjadi jika perioda T 0 diperbesar.
Karena ω 0 = 2π/T 0 maka jika T 0 makin besar, ω 0 akan makin kecil.
Beda frekuensi antara dua harmonisa yang berturutan, yaitu
∆ ω =
2π
( n + 1) ω0
− nω0
= ω0
=
T0
juga akan makin kecil yang berarti untuk suatu selang frekuensi
tertentu jumlah harmonisa semakin banyak. Oleh karena itu jika
perioda sinyal T 0 diperbesar menuju ∞ maka spektrum sinyal
menjadi spektrum kontinyu, ∆ω menjadi dω (pertambahan frekuensi
infinitisimal), dan nω 0 menjadi peubah kontinyu ω. Penjumlahan
pada (10.14) menjadi integral. Jadi dengan membuat T 0 → ∞ maka
(10.14) menjadi
1 ∞ ⎛ ∞
− jωt
⎞ jωt
1 ∞
jωt
f ( t)
=
∫
⎜
−∞ ∫
f ( t)
e dt ⎟ e dω =
−∞
∫
F(
ω)
e dω
2π
⎝
⎠ 2π
−∞
(10.15)
dengan F(ω) merupakan sebuah fungsi frekuensi yang baru,
sedemikian rupa sehingga
203