Denkende Machines -- Computers, rekenen, redeneren - CWI

1.2. HULPMIDDELEN BIJ HET REKENEN 11
De kraal voor de tientallen in 713 is nu ook afgewerkt en kan weg. Nu nog 23 met 7 vermenigvuldigen
voor de honderdtallen, en resultaat 161(00) optellen bij het getal rechts, rekening
houdend met het feit dat het om honderdtallen gaat door te beginnen bij de derde staaf van
rechts. Daarmee zijn ook de honderdtallen afgewerkt, en kunnen we het resultaat 16399 rechts
aflezen.
Overdracht vindt steeds plaats wanneer je een volgende spijl nodig hebt. Rekening houden met
het feit dat je tientallen of honderdtallen berekent doe je door spijlen over te slaan.
In feite reken je op een telraam met positienotatie: je hebt spijlen voor de eenheden, de
tientallen, de honderdtallen, enzovoorts. Dit strookt in het geheel niet met de Romeinse getalnotatie
die juist niet positioneel is. Elk symbool uit het Romeinse talstelsel heeft een vaste
waarde, onafhankelijk van de positie in de Romeinse notatie voor een getal. Zo heeft elke X in
LXXIX de waarde 10.
1.2.3 Positionele Getalnotatie
In tegenstelling tot de Romeinen gebruiken wij bij het opschrijven van een getal voor de tientallen
geen ander symbool dan voor de eenheden of voor de honderdtallen. Alleen de positie bepaalt
het verschil in waarde, net zoals op het telraam. Zo staat de eerste 3 in het getal 3438 voor
3000, de tweede voor 30. 25 is verschillend van 205. In 25 staat de 2 voor 2 × 10, in 205 voor
2 × 100, en in 152 voor 2 × 1.
Positionele getalnotatie maakt essentieel gebruik van het symbool voor 0. De Romeinen
hadden zo’n symbool niet. De tegenhanger van 0 op het telraam is een lege spijl. Het symbool
voor 0 is binnen verschillende culturen op verschillende tijdstippen uitgevonden, net als de
positionele getalnotatie. Zo beschikte de Maya cultuur over een representatie voor 0 en over
positionele notatie voor getallen. Binnen onze eigen cultuur zijn deze verworvenheden overbracht
uit India, via Arabische karavaanroutes: het is een Hindoe-Arabische uitvinding. Vandaar dat
we nu nog spreken over 0, 1, 2, . . . als Arabische cijfers.
Pas na 1200 begint het positiestelsel met Arabische cijfers, waaronder de 0, in Europa het
Romeinse stelsel te verdringen. Rekenen op papier met het positiestelsel heeft als voordeel ten
opzichte van rekenen op de abacus dat tussenresultaten worden vastgehouden. Als je op de
abacus een rekenfout maakt, zit er niets anders op dan de berekening in zijn geheel over te
doen. Bij het rekenen op papier kunnen de tussenresultaten worden gecontroleerd. Maar tot
in de zestiende eeuw blijft papier in Europa een duur luxeartikel. Simon Stevins tractaat De