Denkende Machines -- Computers, rekenen, redeneren - CWI

20 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET MACHINES
want h(x) = 2. Dus als we g(x) hebben, krijgen we g(x + 1) simpelweg door 2 bij g(x) op te
tellen. Omdat g(x) = f(x + 1) − f(x), krijgen we dat f(x + 1) = f(x) + g(x). Dus, als we
f(x) en g(x) hebben, krijgen we f(x + 1) door f(x) en g(x) bij elkaar op te tellen. Kortom,
we kunnen de tabel voor f(0), f(1), f(2), f(3), . . . construeren vanuit de beginwaarden f(0) en
g(0), met alleen optellen. Dat gaat als volgt.
f(0) = 0 2 + 3 · 0 + 1 = 1
g(0) = 2 · 0 + 4 = 4
f(1) = f(0) + g(0) = 1 + 4 = 5
g(1) = g(0) + h(0) = 4 + 2 = 6
f(2) = f(1) + g(1) = 5 + 6 = 11
g(2) = g(1) + h(1) = 6 + 2 = 8
f(3) = f(2) + g(2) = 11 + 8 = 19
In de volgende tabelvorm, met functiewaarden, eerste verschillen (V1) en tweede verschillen (V2),
blijkt duidelijk hoe een tabel van waarden van f(x) gemaakt kan worden uit de beginwaarden
1, 4 en 2, door herhaald optellen.
x
0
1
2
3
f(x)
1
5
11
19
De waarde in de kolom van de tweede verschillen blijft constant. Het volgende verschil in kolom
V1 is 8+2=10 en dan is f(4) = 19 + 10 = 29.
In het algemeen geldt dat voor een n-de graads veelterm (of polynoom), dat wil zeggen een
functie van de vorm
anx n + an−1x n−1 + · · · + a1x + a0,
de n-de verschillen constant zijn. Waardentabellen voor polynomen kunnen dus altijd met de
differentiemethode worden geconstrueerd.
Opdracht 1.13 Maak een verschiltabel voor de functie f(x) = x 2 − 3x + 7.
De methode van verschiltabellen kan ook worden gebruikt om het volgende getal in een waardenreeks
te raden. Als de waardenreeks begint met 0, 1, 4, 9, 16, dan zie je meteen dat de volgende
waarde 25 moet zijn, omdat je ziet dat het gaat om waarden voor de functie f(x) = x 2 . Maar
ook als je dit niet ziet, kun je er met de verschilmethode achterkomen wat de volgende waarde
is. De verschilwaarden van de reeks 0, 1, 4, 9, 16 zijn immers 1, 3, 5, 7, en de verschillen van die
V1
4
6
8
V2
2
2