Denkende Machines -- Computers, rekenen, redeneren - CWI

60 HOOFDSTUK 2. REKENEN EN REDENEREN
2.4.7 De Mechanisering van het Redeneren
Met het blootleggen van de basiswetten van een logische rekenkunde zijn we al een heel eind
onderweg naar de realisering van de droom van Leibniz, het reduceren van redeneren tot rekenen.
Er ontbreekt echter nog één stap, het maken van een machine die deze logische rekenkunde
hanteert en logische equivalenties kan toetsen. Wij gaan zo’n machine hier niet ontwerpen,
maar we hebben in feite al een heel mechanische methode gezien om logische equivalentie te
berekenen: de waarheidstabel. Je kunt een computer vrij makkelijk programmeren om gewoon
alle mogelijke situaties te beschouwen, en te kijken of de twee formules in elke situatie dezelfde
waarheidswaarde hebben. Zoals we al hebben opgemerkt, als er n verschillende propositieletters
in de twee formules voorkomen moet de computer 2 n situaties checken, zodat deze procedure bij
wat ingewikkeldere formules veel tijd kost. Het is tegenwoordig niet bekend of er een snellere
methode bestaat, maar de meeste informatici geloven dat het niet echt sneller kan.
Ondanks de vrij hoge complexiteit van het probleem van de logische equivalentie lijkt de
conclusie dat de droom van Leibniz uiteindelijk is uitgekomen. Met de propositielogica hebben
wij een formele logische taal om redeneerproblemen en argumentaties af te beelden, en we
hebben een mogelijkheid om de correctheid van deze argumentaties te verifiëren. Maar waarom
discussiëren en twisten mensen dan nog steeds? Een reden is dat de logische taal die wij hier
hebben gebruikt, de taal van de propositielogica, en heel eenvoudige taal is die niet toestaat om
ingewikkeldere argumentaties weer te geven. Neem bijvoorbeeld de redenering:
Alle mensen zijn sterfelijk, en Socrates is een mens.
Dus Socrates is sterfelijk.
In onze logische taal kunnen we deze redenering alleen met p ∧ q |= r weergeven, maar r is zeker
geen logisch gevolg van p ∧ q. Dit laat zien dat de taal van de propositielogica te zwak is om
sommige intuïtief geldige redenering uit te drukken. Er zijn talen waarin redeneringen van dit
type wel goed kunnen worden weergegeven. Het probleem is echter dat er voor deze talen geen
computerprogramma bestaat dat kan controleren of een formule een tautologie is. In paragraaf
3.4 gaan we hier nader op in.