Denkende Machines -- Computers, rekenen, redeneren - CWI

26 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET MACHINES
beschrijft Leibniz het rekenen (optellen, aftrekken, delen en vermenigvuldigen) met binaire getallen.
Later heeft hij het in een brief uit 1698 over de ‘mooie orde’ van het binaire rekenen.
Leibniz was geïnteresseerd in mechanisering van rekenen en redeneren, en hij zag in dat binaire
getalrepresentatie zeer geschikt is voor machinaal rekenen.
Leibniz beschrijft zo’n machine in detail. Het apparaat bestaat uit een bus met gaten erin,
die geopend en gesloten kunnen worden. Geopend komt overeen met 1, gesloten met 0. Met
behulp van kogeltjes, die al of niet door de gaten kunnen, kan door het verschuiven van de bus
boven een onderstel met gootjes waarin de kogeltjes terecht kunnen komen, een rekenoperatie
uitgevoerd worden. Het apparaat is nooit gebouwd en er is geen tekst van Leibniz bekend waarin
hij erop terugkomt. Het zou meer dan 250 jaar duren voordat de eerste binaire rekenmachine
gebouwd werd.
Leibniz was een veelzijdig man: jurist, diplomaat, wiskundige, technicus, filosoof. Als filosoof
werkte hij aan het ontwikkelen van een universele taal als voertuig voor het menselijk redeneren.
In geval van onenigheid over een of ander onderwerp zou deze taal de oplossing moeten geven.
Door de strakke logica van zo’n taal zou het werken ermee een soort rekenen worden en Leibniz
zelf schreef dan ook dat een ruzie tussen twee mensen opgelost kon worden als ze zouden zeggen:
‘Laten we het uitrekenen.’
1.4.6 Binair Rekenen volgens George Boole
Rond 1850 kwam het onderwerp in één klap op een hoger plan dankzij het werk van George Boole.
Zijn wiskundige analyse van de ‘wetten van het denken’ was baanbrekend. Voor beweringen
gebruikte hij symbolen, bijvoorbeeld: x kan staan voor ‘Het regent.’ De waarheidswaarde van
zo’n bewering kan 0 of 1 zijn. In het eerste geval is de bewering onwaar, in het tweede geval is zij
waar. Boole liet zien hoe je waarheid en onwaarheid van beweringen die zijn samengesteld met
de voegwoorden en, of en niet kunt uitrekenen (als je tenminste weet of de kleinste onderdelen,
zoals ‘Het regent’, waar zijn of niet).
De rekenregels die hij daarvoor introduceerde lijken sterk op de regels van het gewone rekenen,
met een paar interessante verschillen. Bij het gewone rekenen geldt −(a · b) = (−a) · b =
a · (−b), maar bij het Boolese rekenen hebben we: −(x · y) = (−x + −y). Immers, ‘Het is niet
zo dat het regent of sneeuwt’ komt op hetzelfde neer als ‘Het regent niet en het sneeuwt niet’,
en dat is precies wat de wet uitdrukt.
x + (y + z) = (x + y) + z x · (y · z) = (x · y) · z
x + y = y + x x · y = y · x
x + x = x x · x = x
x + (y · z) = (x + y) · (x + z) x · (y + z) = (x · y) + (x · z)
x + (x · y) = x x · (x + y) = x
−(x + y) = −x · −y −(x · y) = −x + −y
x + 0 = x x · 0 = 0
x + 1 = 1 x · 1 = x
x + −x = 1 x · −x = 0
− − x = x
Opdracht 1.16 Ga na welke Boolese wetten uit het bovenstaande lijstje overeenkomen met
‘gewone’ rekenregels (dat wil zeggen: welke regels gaan ook op voor het gewone rekenen, waar ·