Denkende Machines -- Computers, rekenen, redeneren - CWI

48 HOOFDSTUK 2. REKENEN EN REDENEREN
In binaire complementnotatie over 15 numerieke posities gebruiken we het meest significante bit
(het bit helemaal links, dus op positie 16 vanaf rechts) voor de tekeninformatie: 1 betekent negatief
getal in complementnotatie, 0 betekent: positief getal. De negatieve getallen die we kunnen
representeren in twee bytes lopen van −2 15 (binaire representatie 1000.0000.0000.0000) tot −1
(binaire representatie 1111.1111.1111.1111), en de niet-negatieve van 0 (binaire representatie
0000.0000.0000.0000) tot 2 15 − 1 (binaire representatie 0111.1111.1111.1111).
Opdracht 2.13 Wat is het kleinste getal dat gerepresenteerd kan worden in binaire complementnotatie,
wanneer we per getal vier bytes ter beschikking hebben?
2.4 Logica: Redeneren = Rekenen
Zoals wij in paragraaf 2.2 gezien hebben, kun je logische operaties als EN, OF en NIET gebruiken
om circuits te bouwen waarmee je binair kunt rekenen. Je zou dus kunnen zeggen dat een circuit
een soort van logische (reken)machine voorstelt. Een belangrijk verschil tussen circuits en de
machinemodellen zoals de Turing machine en de registermachine die in het volgende hoofdstuk
aan de orde komen is dat er bij een circuit altijd een bovengrens op de lengte van invoer en
uitvoer zit. Kijk bijvoorbeeld naar de half-adder in Figuur 2.6. Dit circuit kan alleen getallen
van 8 bits bij elkaar optellen. Een Turing machine daarentegen kan getallen van willekeurige
lengte bij elkaar optellen.
Het rekenen met logische operaties kan echter ook op een andere manier worden bekeken.
Laten we afspreken dat we de kleine letters a, b, . . . , r en p1, p2, . . . gebruiken als afkortingen
voor de meest eenvoudige beweringen zoals ‘Het regent’ of ‘Jan houdt van Marijke’. Met behulp
van de logische operaties ¬ (niet), ∧ (en), ∨ (of) en → (impliceert) kunnen we nu complexe
beweringen als logische formules weergeven, zodat bijvoorbeeld de zin ‘Als ik de loterij win, dan
koop ik een auto of een huis’ met de formule l → (a ∨ h) correspondeert. Hierbij staat l voor ‘Ik
win de loterij’, a voor ‘Ik koop een auto’ en h voor ‘Ik koop een huis’.
2.4.1 Waarheidstabellen
Zoals al eerder vermeld, kun je de getallen 1 en 0 die de basis van het binaire rekenen vormen
ook lezen als waar en onwaar, en onder deze interpretatie zijn de volgende waarheidstabellen van
de logische operaties dan ook heel natuurlijk: ze geven aan hoe je de waarheid/onwaarheid van
een complexe bewering kunt uitrekenen op basis van de waarheid/onwaarheid van eenvoudiger
beweringen.
p ¬p
0 1
1 0
p q p ∨ q
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
p q p ∧ q
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
p q p → q
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1
Als we bijvoorbeeld naar de waarheidstabel van negatie kijken en 1 als ‘waar’ en 0 als ‘onwaar’
lezen, dan geeft de waarheidstabel van negatie aan dat ¬p waar is als p onwaar is, en omgekeerd.
De zin ‘Het regent niet’ is waar als de zin ‘Het regent’ onwaar is, en omgekeerd. Voor de
conjunctie p ∧ q aan de andere kant geeft de waarheidstabel aan dat deze alleen waar is als zowel