Denkende Machines -- Computers, rekenen, redeneren - CWI

2.4. LOGICA: REDENEREN = REKENEN 59
Opdracht 2.21 Leid de volgende vergelijkingen af.
1. ¬⊤ = ⊥
2. x ∨ (y ∧ ¬y) = x
3. x ∨ x = x
4. x ∨ ⊤ = ⊤
5. x ∨ (x ∧ y) = x
6. Laat zien dat, als x ∨ y = x ∧ y, dan x = y.
7. Laat zien dat, als x ∧ y = ⊥ en x ∨ y = ⊤, dan y = ¬x.
8. Laat zien dat ¬¬x = x.
9. Laat zien dat ¬(x ∨ y) = ¬x ∧ ¬y en ¬(x ∧ y) = ¬x ∨ ¬y.
De rekenkundige manier om naar logische equivalentie te kijken is handig omdat het manipuleren
van vergelijkingen vaak makkelijker is dan het construeren van een waarheidstabel. Om aan te
tonen dat twee formules A en B niet equivalent zijn is de methode echter minder geschikt, want
het feit dat je geen afleiding voor A = B hebt kunnen bedenken hoeft nog niet te betekenen dat
er ook werkelijk geen afleiding bestaat. In zo’n geval is een waarheidstabel het betere werktuig.
Zoals al eerder opgemerkt, is het uitrekenen van logische equivalenties belangrijk, onder
andere voor het vereenvoudigen van circuits, maar met behulp van deze logische rekenkunde
kun je ook tautologieën en logische gevolgen uitrekenen. Dit gaat heel gemakkelijk als je het
volgende inziet. Een formule is een tautologie als hij logisch equivalent aan een tautologie is.
Als formule A dus echt een tautologie is, dan moet je de vergelijking A = ⊤ kunnen afleiden.
Iets ingewikkelder, als B een logisch gevolg is van A, dan moet de formule ¬A∨B een tautologie
zijn (dit was immers equivalent aan A → B), en dus moet ¬A ∨ B = ⊤ afleidbaar zijn.
Opdracht 2.22 Laat door afleidingen zien dat de volgende beweringen kloppen.
1. ¬(x ∧ ¬x) is een tautologie
2. x ∨ y ∨ (¬x ∧ ¬y) is een tautologie
3. x ∧ y |= x
4. x |= x ∨ y
5. x ∧ (y ∨ z) |= (x ∧ y) ∨ z