Denkende Machines -- Computers, rekenen, redeneren - CWI

3.1. AUTOMATEN 65
Figuur 3.3: De dikke lijn representeert het pad dat X aflegt. De originele string overbrugt
dezelfde afstand maar met een extra lus met T als begin en einde.
m 1 T
Opdracht 3.4 Vijfvouden zijn nog makkelijker te herkennen dan drievouden. Teken de procesgraaf
van een automaat met twee toestanden die vijfvouden herkent.
Opdracht 3.5 Een automaat ontwerpen voor andere veelvouden kan iets lastiger zijn. Ze zijn
echter altijd te maken. Teken de procesgraaf van een automaat voor viervoud-herkenning. Hint:
Een viervoud van één cijfer moet een 0, een 4 of een 8 zijn. Een viervoud van minstens twee
cijfers is altijd te herkennen aan de laatste twee cijfers: als het op een na laatste cijfer even is,
dan moet het laatste cijfer een 0, een 4 of een 8 zijn. Als het op een na laatste cijfer oneven is,
dan moet het laatste cijfer een 2 of een 6 zijn.
Opdracht 3.6 De mooie eigenschap van drievouden uit Opdracht 3.3 is een toevalligheid van
het tientallig stelsel. De onderliggende wetmatigheid is echter niet van het talstelsel afhankelijk.
In het unaire stelsel, waar de enige bewerking ‘+1’ is, gedraagt elk getal zich zeer regelmatig.
Teken een automaat die zevenvouden in het unaire stelsel herkent.
3.1.3 Wat Kan een Keuze-automaat niet?
Ondanks het feit dat het automaatje uit Figuur 3.2 maar drie toestanden heeft, kan het onbeperkte
invoer aan. Voor een willekeurig lang getal kan het bepalen of het een drievoud is. Dat
stemt hoopvol. De vraag is dan ook of we automaten ook andere dingen kunnen laten berekenen,
en dan liefst het soort saaie berekeningen die wij ook volledig ‘op de automatische piloot’
uitvoeren. Dat blijkt helaas niet het geval te zijn. Een automaat is hiervoor te ‘vergeetachtig’.
Het blijkt bijvoorbeeld niet mogelijk te zijn om een automaat te maken die een willekeurige
correcte optelling kan herkennen.
Stel dat er wel zo’n optelautomaat zou zijn die elke uitdrukking van de vorm getal1 + getal2
= getal3 ‘nakijkt’. We voeren nu een correcte optelling van twee getallen in, n1 en n2, die zo
groot zijn dat de lengtes van deze getallen samen groter is dan het aantal toestanden van de
automaat. De verwerking van deze optelling zal meer toestandsovergangen vergen dan het aantal
toestanden van de automaat, en zodoende moet er tenminste één toestand, zeg T , meerdere keren
bezocht worden voordat de eindtoestand bereikt is. Laat m1 het aantal tekens zijn dat ingelezen
is bij het eerste bezoek aan T en m2 het aantal ingelezen tekens bij de tweede keer. Laat nu X
de rij symbolen zijn die we krijgen door uit de originele optelling het stuk van het m1 + 1-ste
tot en met het m2-de teken weg te laten. Als we de invoer X aan dezelfde automaat geven, dan
doorloopt deze dezelfde weg door de procesgraaf minus de T -lus. Daarmee wordt ook X door
de automaat opgevat als een correcte optelling. Dat oordeel kan echter niet juist zijn. Als in het
m 2