Denkende Machines -- Computers, rekenen, redeneren - CWI

84 HOOFDSTUK 3. MODELLEN VAN BEREKENING
Figuur 3.10: Het vervulbaarheidsprobleem: is het circuit zo dat het lampje bij de uitgang gaat
branden voor een bepaalde stand van de bits, of blijft het altijd uit?
1
0
circuit
0 0 1 0 1 0
praktijk wordt de meetlat dan ook lager gelegd dan de berekenbaarheidsgrens van Turing, en
worden algoritmen, de rekenmethodes die ten grondslag liggen aan een programma, ook kritisch
bekeken op zogenaamd combinatorisch explosief gedrag.
Een goed voorbeeld van combinatorische explosie is de waarheidstabellenmethode voor propositielogica
uit het vorige hoofdstuk. Als we willen weten of een propositie vervulbaar is, dan
moeten we de hele tabel doorrekenen en kijken of in de laatst in te vullen kolom een 1 voorkomt.
We kunnen dezelfde methode voor een circuit toepassen: zo’n circuit correspondeert met een
propositie en de bits met de propositieletters. De vervulbaarheidsvraag is dan of een lampje
dat we bij de uitgang van het circuit hangen gaat branden voor een of andere instelling van
de bits, zoals dat getekend is in Figuur 3.10. De waarheidstabellenmethode gaat netjes alle
mogelijkheden af, en dat levert bijvoorbeeld in Figuur 3.10 in het ergste geval dat we 2 9 = 512
keer de bits moeten instellen en kijken of het lampje gaat branden.
De combinatorische explosie van deze methode bestaat eruit dat met maar een enkel bitje
extra de rekentijd twee keer zo lang wordt. Zo moet je voor een circuit met 50 bits meer dan een
biljard mogelijkheden doorrekenen (om precies te zijn 1125899906842624, en dat is inderdaad
wat meer dan 10 15 ), en in het geval 100 bits meer dan een biljard keer een biljard (meer dan 10 30 ).
In plaats van ‘explosief’ wordt in de complexiteitstheorie, een discipline binnen de theoretische
informatica, zo’n algoritme exponentieel genoemd, omdat de verhouding tussen rekentijd en de
omvang van de invoer exponentieel is. In de tabel hieronder staat deze verhouding in de kolom
helemaal links. Als de invoeromvang met een enkele stap toeneemt, dan wordt de wachttijd een
bepaalde constante factor langer.
Exponentieel Polynomiaal Lineair
tijd ∼ constante |invoer| tijd ∼ |invoer| constante tijd ∼ constante · |invoer|
De opdracht voor programmeur of informaticus is nu om algoritmen te ontwerpen om de variabele
invoeromvang uit de exponent te krijgen. Een voor de praktijk zeer acceptabele wachtverhouding