Denkende Machines -- Computers, rekenen, redeneren - CWI

2.4. LOGICA: REDENEREN = REKENEN 57
2.4.5 Redeneren over Natuurlijke Getallen
De atomaire beweringen p, q, r, et cetera die we tot nu toe zijn tegengekomen hebben we
geïnterpreteerd als beweringen over onze natuurlijke omgeving. We kunnen onze logische taal
echter net zo gebruiken om complexe uitspraken over natuurlijke getallen te maken. In het
programmeergedeelte van dit boekje zal dit later nog blijken.
De basisbeweringen die wij over natuurlijke getallen maken zijn vergelijkingen: x = y betekent
dat twee natuurlijke getallen hetzelfde zijn, x < y betekent dat getal x kleiner is dan getal
y, x > y betekent dat getal x groter is dan getal y, en x ≤ y (x ≥ y) dat x kleiner (groter)
of gelijk is aan y. Als afkorting schrijven wij ook x = y voor ¬(x = y). Met behulp van deze
beweringen kunnen wij in de taal van de propositielogica ingewikkelde beweringen opschrijven
zoals de bewering Als x kleiner dan 7 is en y groter of gelijk aan 11, dan is z gelijk aan x of
verschilt van y. Vertaald naar de propositielogica is dit:
((x < 7) ∧ (y ≥ 11)) → (z = x ∨ z = y)).
Over natuurlijke getallen hebben wij de volgende equivalenties (A ≡ B betekent dat A en B
logisch equivalent zijn).
x = y ≡ (x ≤ y) ∧ (y ≤ x)
x ≤ y ≡ y ≥ x
x ≤ y ≡ (x < y) ∨ (x = y)
¬x ≤ y ≡ x > y
x = y ≡ (x < y) ∨ (y < x).
Tenslotte kunnen wij in het bijzonder beweringen over het rekenen met 0 en 1 bekijken. In
dat geval kun je de basisuitdrukkingen zoals ≤ en > ook als tweeplaatsige logische operaties
opvatten, die hun eigen waarheidstabellen hebben, net als ∨ en ∧.
x y x < y
0 0 0
0 1 1
1 0 0
1 1 0
x y x ≤ y
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1
x y x = y
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1.
Opdracht 2.20 Welke formules uit de propositielogica corresponderen met x < y, x ≤ y en
x = y? Preciezer, vind formules A1, A2 en A3 uit de propositielogica die alleen x, y en de
connectieven ∧, ∨, ¬ en → bevatten, zodat x = y logisch equivalent is met A1, x < y met A2 en
x ≤ y met A3.
2.4.6 De Rekenkunde van de Rede
In opdracht 2.19 kwamen wij al een aantal equivalente formules tegen, en we hebben gezien hoe
je met waarheidstabellen de equivalentie van twee willekeurige formules kunt uitzoeken. Er is
echter ook een meer rekenkundige manier om aan te tonen dat twee formules equivalent zijn, en
we zullen deze methode eerst met een eenvoudig voorbeeld demonstreren.
Stel dat we al weten dat de formules p ∨ q en q ∨ p equivalent zijn (commutativiteit), en
dat we ook weten dat p ∨ (q ∨ r) en (p ∨ q) ∨ r equivalent zijn (associativiteit). Deze twee