Denkende Machines -- Computers, rekenen, redeneren - CWI

88 HOOFDSTUK 3. MODELLEN VAN BEREKENING
A?
Figuur 3.11: Vertalen van en naar het vervulbaarheidsalgoritme.
Omzetten van A−invoer naar
invoer voor vervulbaarheids−
algoritme in polynomiale tijd
vervulbaarheids
algoritme
Omzetten van uitvoer van het
vervulbaarheidsalgoritme naar
antwoord op A? in polynomiale tijd
dat, als er een polynomiaal algoritme voor het vervulbaarheidsprobleem gevonden wordt, elk
NP-probleem polynomiaal op te lossen is. Met andere woorden, dan zou NP hetzelfde zijn als P.
Een ander voorbeeld van een probleem in NP dat, net als propositionele vervulbaarheid, exemplarisch
is voor de hele klasse, is het mijnenveegprobleem, bekend van het spelletje minesweeper,
gemakkelijk te vinden op internet. Pas op: het spelletje is verslavend.
Met het oplossen van het P- versus NP-probleem is veel geld te verdienen. Het Clay Mathematics
Institute in de VS heeft een miljoen dollar uitgeloofd aan de eerste die hetzij bewijst
dat P=NP of bewijst dat P=NP, en dat bewijs gepubliceerd weet te krijgen in een gerenommeerd
wiskundetijdschrift (dat wil zeggen: het bewijs moet voor wiskundigen overtuigend
zijn). Hier is de omschrijving van het probleem, van de website van het Clay Mathematics
Institute, http://www.claymath.org/.
Het P- versus NP-probleem.
Het is zaterdagavond en je arriveert op een groot feest. Je voelt je wat opgelaten, en je
vraagt je af of je al iemand van de aanwezigen kent. De gastheer oppert dat je Rosa zeker
moet kennen, de dame in de hoek naast het buffet. Je werpt een snelle blik, en je ziet dat de
gastheer gelijk heeft. Zonder die suggestie van de gastheer had je alle aanwezigen in de hele
kamer langs gemoeten om te zien of er een bekende tussen zat. Dit is een voorbeeld van het
algemene verschijnsel dat het genereren van een oplossing voor een probleem veel meer tijd
kost dan het controleren of een gegeven oplossing correct is. Net zo: als iemand je vertelt
dat het getal 13717421 kan worden geschreven als het product van twee kleinere getallen,
dan weet je waarschijnlijk niet of je dat moet geloven of niet. Maar als hij je vertelt dat het
kan worden geschreven als 3607 × 3803 kun je gemakkelijk met een zakrekenmachine nagaan
dat hij gelijk heeft. Een van de open problemen in logica en informatica is het vaststellen
of er vragen zijn waarvan het antwoord efficiënt kan worden gecontroleerd (bijvoorbeeld met
een computer), maar waarbij het vinden van een goede oplossing vanaf 0 (zonder dat je het
antwoord weet) veel meer tijd vergt. Het lijkt erop dat er tal van dat soort vragen zijn. Maar
tot op heden heeft niemand bewezen dat het oplossen van zulke problemen echt heel veel tijd
kost. In theorie zou het zo kunnen zijn dat we eenvoudigweg nog niet ontdekt hebben hoe
we ze snel moeten oplossen. Stephen Cook formuleerde het P- versus NP-probleem in 1971.
De P- versus NP-kwestie is een open vraag. In feite is dit het belangrijkste hete hangijzer
van de theoretische informatica: veel combinatorisch lastige problemen die we graag efficiënt
zouden willen aanpakken zitten in de NP-klasse. Aan het begin van de twintigste eeuw waren
wiskundigen optimistisch over de mogelijkheden van het mechaniseren van het rekenen. Turing
en Church lieten toen zien dat er fundamentele grenzen zijn aan berekenbaarheid. De stemming
onder wiskundigen en informatici nu met betrekking tot het P- versus NP-probleem is heel wat
pessimistischer. Vrijwel iedereen gelooft dat NP = P, maar er zal een nieuwe Turing moeten
opstaan om ons daar daadwerkelijk van te overtuigen, of, heel misschien, om het tegendeel te
bewijzen.
A!