Denkende Machines -- Computers, rekenen, redeneren - CWI

2.4. LOGICA: REDENEREN = REKENEN 49
p als ook q waar zijn. De zin ‘Het regent en het waait’ zal onwaar zijn als het niet regent of
als het niet waait, en dus is de zin alleen waar als de zinnen ‘Het regent’ en ‘Het waait’ allebei
waar zijn. De disjunctie kun je op een soortgelijke manier uitleggen: ‘Het regent of het waait’
is alleen onwaar als het niet regent en niet waait. Dit houdt dus in dat, als het zowel regent als
waait, de zin waar is.
Nu de implicatie. Stel dat ik beweer ‘Als het bliksemt, dondert het’, dan kunnen we dit
opschrijven als p → q. Als jij wilt aantonen dat deze bewering onwaar is, moet je volgens
de waarheidstabel een situatie vinden waar er bliksem is (p is waar), maar geen donder (q is
onwaar). Verder is dit de enige manier om de onwaarheid van p → q aan te tonen (in alle andere
rijtjes van de waarheidstabel staat immers een 1)! Als jij me bijvoorbeeld op een situatie wijst
waar er donder is maar geen bliksem, volgt hieruit niet dat de zin ‘Als het bliksemt, dondert
het’ onwaar moet zijn, want deze zin beweert alleen iets voor gevallen waar er wel bliksem is.
Met behulp van de waarheidstabellen kun je nu ook de waarheidswaarde (het waar of onwaar
zijn) van ingewikkelder formules of beweringen uitrekenen. De zin ‘Als de zon schijnt, gaat Joost
naar het strand, anders naar het zwembad’ kunnen we vrij makkelijk naar onze logische taal
vertalen met de volgende vertaalsleutel.
a De zon schijnt.
b Joost gaat naar het strand.
c Joost gaat naar het zwembad.
De corresponderende formule is (a → b) ∧ (¬a → c), en de waarheidstabel kun je als volgt
construeren.
a b c a → b ¬a ¬a → c (a → b) ∧ (¬a → c)
0 0 0 1 1 0 0
0 0 1 1 1 1 1
0 1 0 1 1 0 0
0 1 1 1 1 1 1
1 0 0 0 0 1 0
1 0 1 0 0 1 0
1 1 0 1 0 1 1
1 1 1 1 0 1 1
Kort samengevat: in situaties met Joost bij zonneschijn aan het strand is de zin waar, in situaties
zonder zon met Joost in het zwembad ook, en in alle andere situaties is de zin onwaar.
Hier is een wat ingewikkelder voorbeeld. Stel Saskia is met Jaap aan het kaarten, en in de
loop van het spel doet zij de volgende bewering. ‘Jaap heeft een aas als hij niet een heer of een
boer heeft’. Wanneer is deze bewering waar? Merk op dat er een ambiguïteit in deze bewering
zit, dat wil zeggen, er zijn twee mogelijke interpretaties.
• Volgens de eerste interpretatie wordt er beweerd dat Jaap een aas heeft als hij (1) geen
heer heeft, of (2) een boer heeft.
• Volgens de tweede interpretatie heeft Jaap een aas als het niet het geval is dat hij een heer
of een boer heeft.
Deze ambiguiteit komt tevoorschijn als je de zin naar onze logische taal vertaalt, met de volgende
vertaalsleutel. a: Jaap heeft een aas, b: Jaap heeft een boer, en h: Jaap heeft een heer. Je
zou de zin nu misschien als ¬b ∨ h → a willen vertalen, maar deze formule is dan even ambigu