Denkende Machines -- Computers, rekenen, redeneren - CWI

86 HOOFDSTUK 3. MODELLEN VAN BEREKENING
gezelschap herken je aan twee eigenschappen: ieder ander persoon in het gezelschap kent hem
of haar, maar zelf kent hij of zij niemand in het gezelschap (of deze beroemdheid zichzelf wel
kent doet er even niet toe). Hoe gaan we te werk? We beginnen als volgt. Om niet in de war
te raken geven we alle leden van het gezelschap rugnummers, van 1 tot en met N. Vervolgens
beginnen we bij persoon 1 met nagaan of we misschien meteen al om een handtekening kunnen
vragen. Hiertoe gaan we de rij van 2 tot en met N af, en vragen we of 1 de personen kent die
we opnoemen. Als we er op deze manier achterkomen dat 1 een van de N − 1 anderen kent, dan
valt 1 af en beginnen we opnieuw, nu met persoon 2. Als we uiteindelijk iemand tegenkomen die
niemand kent, dan moet dat de beroemdheid zijn. In het ergste geval treffen we het zo dat juist
persoon N de beroemdheid is en in dat geval hebben we (N − 1) 2 tests moeten uitvoeren. Deze
methode is dus polynomiaal, en wel: kwadratisch. De wachttijd hangt af van het kwadraat van
het aantal personen in ons gezelschap (min 1).
Opdracht 3.29 Hiernaast is een
ImPro+-implementatie van een wat
sneller algoritme gegeven voor een gezelschap
van 1000 personen. We gaan ervan
uit dat we al beschikken over een KENTtest
die aangeeft of het eerste argument
(rugnummer van gezelschapslid) het tweede
argument kent. Teken eerst het corresponderende
programmastructuurdiagram,
en leg vervolgens uit wat het programma
precies doet, en waarom het efficiënter is
dan het algoritme hierboven. Leg ook uit
waarom dit programma gegarandeerd de
beroemdheid uitkiest.
N.B. Het blijft een kwadratische methode.
x := 1;
f := 0;
while (x < 1001 & f = 0) {
y :=x ;
while (y < 1001) {
if ( KENT(x,y) ) {
y := 1001; x+;
} else {
if (y = 1000) {
f+;
} else {
y+;
}
}
}
Het algoritme uit de opgave hierboven is wat efficiënter, maar echt veel maakt het niet uit.
Immers, de tijd die met het uitvoeren ervan gemoeid is verhoudt zich nog steeds kwadratisch tot
de omvang van de invoer (N). Er bestaat echter wel een algoritme dat de wachttijd terugbrengt
tot lineair.
Begin met twee personen, 1 en N. Laten we even aannemen dat N = 1000. Vraag aan 1 of
hij/zij 1000 kent. Als dit niet het geval is, dan kan 1000 niet de beroemde persoon zijn. Dan
strepen we 1000 af en gaan nu door met 1 en 999, dat wil zeggen: N − 1. Als 1 wel 1000 kent,
dan kan 1 niet de beroemdheid zijn en gaan we verder met 2 en 1000. Uiteindelijk houden we
maar één persoon over, en dit moet de beroemdheid zijn. Dit kost ons in alle gevallen N tests.
Opdracht 3.30 Schrijf een ImPro+-programma dat dit algoritme implementeert, weer met gebruikmaking
van de functie KENT uit de vorige opdracht.
De tijdscomplexiteit van een rekenprobleem zoals de hier besproken beroemdheidsdetectie is
de rekentijd voor het snelste algoritme dat het probleem oplost. Het beroemdheidsprobleem is
daarmee een lineair probleem.
}