Denkende Machines -- Computers, rekenen, redeneren - CWI

1.3. ANTIEKE REKENMACHINES 19
Als de diameter van het voorste tandwiel twee keer zo groot is als de diameter van het achterste
tandwiel, zal één keer rondraaien van het voorste tandwiel het achterste twee keer doen ronddraaien.
Om met Leibniz’ machine twee cijfers met elkaar te vermenigvuldigen moesten eerst
de juiste tandwielen voorgeschakeld worden, waarna door middel van een draai aan een slinger
het mechaniek in beweging werd gezet.
Een ander ontwerp was de getrapte tandwielcilinder. Dit was een cilinder waarop zich naast
elkaar tandwielen met verschillende aantallen tanden bevonden. Door de cilinder over zijn lengteas
te verschuiven kon een gewenste vermenigvuldiging ingesteld worden. Met de mechanische
betrouwbaarheid bleef het nog lang tobben. De rekenmachientjes hadden vooral een functie van
sier en verwondering.
1.3.5 Tabellen Maken met de Differentiemethode
Machines als die van Pascal en Leibniz waren technisch niet volmaakt, maar er was geen markt
die op verdere ontwikkeling aandrong. Tot het begin van de negentiende eeuw zijn er geen
wezenlijke veranderingen te bespeuren op het gebied van de mechanisering van het rekenen. In
feite konden wetenschappers, handelaars en anderen die regelmatig moesten rekenen beter uit
de voeten met tabellen en rekenlinialen.
Die tabellen gingen op verschillende gebieden (sterrenkunde, zeevaart) een steeds grotere
rol spelen. Zowel omvang als betrouwbaarheid maakten dat hier vele uren in gestoken moesten
worden. In het begin van de negentiende eeuw startte de Franse regering een project om goniometrische
tabellen (tabellen voor belangrijke hoekfuncties zoals sinus en cosinus) aan te passen
aan een nieuwe hoekeenheid die een kwart cirkel verdeelde in 100 graden in plaats van 90. Die
nieuwe indeling is trouwens geen blijvertje gebleken.
Bij het maken van goniometrische tabellen werd gebruikgemaakt van de differentiemethode,
die bepaalde wiskundige berekeningen terugbrengt tot optellen. Om te laten zien hoe de differentiemethode,
of methode van verschillen, werkt beschouwen we een voorbeeld, de formule
f(x) = x 2 +3x+1. We zijn geïnteresseerd in een tabel van de waarden f(0), f(1), f(2), f(3), . . . .
Die waarden zijn te berekenen met alleen optellen. Dit gaat als volgt. Beschouw de eerste
verschilfunctie voor f, dat wil zeggen de functie g gegeven door g(x) = f(x + 1) − f(x). Dit
kunnen we vereenvoudigen door f uit te schrijven:
g(x) = (x + 1) 2 + 3(x + 1) + 1 − (x 2 + 3x + 1)
= (x 2 + 2x + 1) + (3x + 3) + 1 − (x 2 + 3x + 1)
= 2x + 4.
Het blijkt dat g(x) een slagje eenvoudiger is dan f(x): de term met x 2 is weggevallen. We
zeggen: de veelterm f(x) is van de tweede graad, de veelterm g(x) is van de eerste graad.
We kunnen nu ook de tweede verschilfunctie voor f bekijken, dat wil zeggen de verschilfunctie
van de eerste verschilfunctie van f, ofwel g(x + 1) − g(x). Als we deze functie h noemen, kunnen
we h(x) = g(x + 1) − g(x) weer vereenvoudigen door g uit te schrijven:
h(x) = 2(x + 1) + 4 − (2x + 4) = (2x + 6) − (2x + 4) = 2.
De tweede verschilfunctie van f is constant. Dit kunnen we nu gebruiken om de tabel voor f uit
te rekenen. Immers, omdat h(x) = g(x+1)−g(x), krijgen we dat g(x+1) = g(x)+h(x) = g(x)+2,