Denkende Machines -- Computers, rekenen, redeneren - CWI

66 HOOFDSTUK 3. MODELLEN VAN BEREKENING
weggelaten stuk een = of een + zat, dan is X zelfs niet eens een optelling, en als het weggelaten
stuk alleen maar getallen bevat, dan verandert óf de waarde van een van de opgetelde getallen
óf het resultaat en moet X dus een incorrecte optelling zijn. Kortom, zo’n automaat kan niet
bestaan.
Opdracht 3.7 Beredeneer op dezelfde manier waarom er geen automaat kan zijn die elke symbolenrij
die begint met een aantal 0-en gevolgd door eenzelfde aantal 1-en herkent (en andere
rijen afwijst).
Opdracht 3.8 Laat op een analoge manier zien dat er geen automaat is die kwadraten in het
unaire getallenstelsel herkent (|-rijen van lengte 0, 1, 4, 9, etc.).
3.2 Turing Machines
De beperking van een automaat in het nabootsen van rekenmechanismen is dat hij ‘vergeet’
hoe hij in een bepaalde toestand is gekomen. In het geval maken van een optelling is deze
voorgeschiedenis van belang om de correctheid te bepalen, terwijl ze in het geval van de drievoudtest
niet van belang is. Als we het getal 258 met de drievoud-automaat beoordelen, dan maakt
het na het inlezen van het eerste symbool immers niet uit hoe we in de desbetreffende volgende
toestand zijn gekomen. Het eerste symbool had net zo goed een 5 of een 8 kunnen zijn: het
eindresultaat is hetzelfde en het antwoord blijft correct: ook 558 en 858 zijn deelbaar door drie.
Turing bedacht dat een machine een soortgelijk hulpmiddel zou moeten hebben als wij gebruiken
bij het uitvoeren van berekeningen: pen en papier. Een Turing machine is een automaat
uitgebreid met een oneindige hoeveelheid papier in de vorm van een aan beide kanten doorlopende
band of tape die netjes in van elkaar gescheiden vakjes is verdeeld. Hiermee kan het
apparaat informatie bijhouden en terugvinden. Met een speciaal mechaniek, de kop genoemd
(vergelijk de kop van een cassetterecorder), kan het één symbool schrijven in het vakje waar hij
staat, over de band heenschuiven in beide richtingen, en de inhoud van het vakje waar het staat
ingelezen. Net als met de koppen van een cassetterecorder kun je er dus mee opnemen (op de
band schrijven) en afspelen (van de band lezen).
De toestandsovergangen gaan nu vergezeld van een instructie voor de kop. Zo’n instructie
kan een bewegingsinstructie zijn: ga links of ga rechts, of een schrijfinstructie: schrijf symbool S
op de band, waarbij S een of ander gegeven symbool is.
a,<
Zo betekent de transitie in het plaatje hierboven: ‘Als door de kop een a gelezen wordt, ga dan
naar de volgende toestand en beweeg de kop naar links.’
b,c
De transitie in het plaatje hierboven bevat een schrijfinstructie: ‘Als door de kop een b gelezen
wordt, ga dan naar de volgende toestand en schrijf een c op de band, op de plaats waar de kop
zich bevindt.’