Denkende Machines -- Computers, rekenen, redeneren - CWI

28 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET MACHINES
Rekenen is vereenvoudigen. Rekenen met de Boolese wetten is dus een kwestie van Boolese
termen in een aantal stappen in een zo simpel mogelijke vorm brengen. Hier zijn voorbeelden
van regels die daartoe kunnen dienen.
− − x −→ x
−(x + y) −→ −x · −y
−(x · y) −→ −x + −y
x · (y + z) −→ (x · y) + (x · z)
(y + z) · x −→ (y · x) + (z · x)
(x · y) · z −→ x · (y · z)
(x + y) + z −→ x + (y + z).
Hier is een voorbeeld van een Boolese berekening.
−(a + (b · c)) −→ −a · −(b · c) −→ −a · (−b + −c) −→ (−a · −b) + (−b · −c).
Opdracht 1.18 Probeer na te gaan in welke zin de uitdrukkingen rechts van de pijlen eenvoudiger
zijn dan de uitdrukkingen links.
Opdracht 1.19 Je zou de vereenvoudigingsregels nog kunnen uitbreiden met principes voor het
vereenvoudigen van uitdrukkingen waarin 1 of 0 voorkomt. Hoe?
1.4.8 Boolese Algebra en Binaire Circuits
In 1938 toonde Claude Shannon aan dat er een directe relatie bestaat tussen Boolese algebra en
(elektrische) circuits van binaire schakelaars. De twee standen van een schakelaar corresponderen
met 0 (‘open’: geen stroom mogelijk) en 1 (‘gesloten’), ‘·’ correspondeert met een serieschakeling
en ‘+’ met een parallelschakeling. Een Boolese formule kan zo ‘vertaald’ worden in een circuit
en omgekeerd. De Boolese wet x + 0 = x zegt dan: ‘De parallelschakeling van schakelaar x en
een altijd open schakelaar is equivalent met de schakelaar x’. Boolese algebra kan dus gebruikt
worden bij het ontwerpen van circuits voor computers. Op de website bij dit boek vind je een
applet met binaire telmachines, met vakjes in plaats van stapels.
1.4.9 Machinaal Kraken van Geheimschrift
In de Tweede Wereldoorlog gebruikten de Duitsers voor het coderen van hun radiomorseboodschappen
een machine, de Enigma, die volgens een ingewikkeld patroon via een roterend schijvensysteem
letters omzette in andere letters. De Enigma was een keuze-automaat: hoe de
codering van een bepaald bericht eruitzag hing af van de keuze van een beginstand van de schijven;
er waren eindig veel mogelijke beginstanden. Door logische analyse van berichten waarvan
ze zowel een gecodeerde als een niet-gecodeerde versie te pakken hadden gekregen, hadden de
Engelsen (geholpen door Poolse wiskundigen) uitgedokterd hoe de Enigma in elkaar zat (dat
wil zeggen welke letteromzettingen de schijven afzonderlijk, in elk van hun mogelijke standen
teweegbrachten).
Het ontcijferingsprobleem was nu: het vinden van de beginstand die de Enigma machine had
gehad bij het coderen van de eerste letter van een bepaald bericht. Als die eenmaal gevonden