Denkende Machines -- Computers, rekenen, redeneren - CWI

3.4. REKENTIJDEN 83
Kortom, een programma HALT dat voor elk programma bepaalt of het stopt of niet, startend
met lege registers, kan niet bestaan. Wat hier direct uit volgt, en wat van groot belang is om te
weten, is dat niet alles berekenbaar is.
Misschien vind je het Q programma nogal vreemd, omdat er in Q een verwijzing zit naar
het programma zelf, in de vorm van de getalscode q. Er zijn echter ook problemen die er op
het eerste oog veel onschuldiger uitzien, en die eveneens niet berekenbaar zijn. Een bekend
voorbeeld is het volgende. Stel we hebben te maken met twee verschillende manieren om een
eindig aantal symbolen met 0-en en 1-en te coderen. Bijvoorbeeld:
a b c d
eerste codering 11 01 01110 1001
tweede codering 101 011 1010 01
De vraag is nu of er een rijtje symbolen te geven is dat na codering volgens de twee verschillende
methoden toch dezelfde rij van 0-en 1-en oplevert. In het geval hierboven kunnen we
het positief beantwoorden, want babcd geeft voor beide coderingen hetzelfde resultaat, namelijk
011101011101001. De vraag is nu of er een programma te schrijven valt dat voor een willekeurig
alfabet van symbolen en voor twee willekeurige binaire coderingen voor dat alfabet berekent of
er een gemeenschappelijk rijtje zoals in het geval hierboven te geven is. Het antwoord op die
vraag is ‘nee’, en daarmee is dit zogenaamde correspondentieprobleem van Post (genoemd naar
de logicus die het probleem verzonnen heeft) een onberekenbaar probleem. Als het gaat om
het stopgedrag van programma’s moeten mensen het trouwens ook nog wel eens laten afweten.
Neem het volgende programma.
while (!(x = 1)) {
if (x % 2 = 0) { x := x/2 }
else { x := 3*x + 1 }
}
Starten met bijvoorbeeld x = 9 levert de rij
9, 28, 14, 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 4, 2, 1
op. Indien dit programma voor verschillende positieve gehele getallen x wordt uitgevoerd blijkt
het steeds te eindigen (soms met verrassend hoge tussenwaarden). Echter, tot op heden is er
niemand in geslaagd te bewijzen dat dit programma altijd eindigt.
Opdracht 3.27 Voor de regenachtige zaterdagmiddag: probeer dit programma eens na te rekenen
voor x = 27 (een rekenmachine is handig).
3.4.2 Tijdscomplexiteit
Ook al is een probleem berekenbaar volgens de Turing these, dan nog kan het computationeel
onhanteerbaar zijn. De complexiteit van een probleem kan dusdanig zijn dat er alleen maar
programma’s te schrijven zijn die wel stoppen, maar pas na een enorme lange wachttijd. In de