Denkende Machines -- Computers, rekenen, redeneren - CWI

2.4. LOGICA: REDENEREN = REKENEN 55
nut van waarheidstabellen heeft begrepen, gaat hij zelfverzekerd aan de slag en produceert het
volgende.
p1 p2 d1 d2 d1 → d2
0 0 0 0 1
0 1 0 1 1
1 0 1 1 1
1 1 0 0 1
Wat valt hier nu uit te concluderen? De waarheidstabel laat zien dat de formule d1 → d2, of
helemaal uitgeschreven
(p1 ∧ ¬p2) → ((p1 ∨ p2) ∧ (¬p1 ∨ ¬p2)),
in elke situatie waar is. Zo’n formule noemt men in de logica een tautologie. In een waarheidstabel
herken je een tautologie dus aan het feit dat er in elk rijtje van de kolom van de formule een 1
staat. Je kon in het voorbeeld zien dat de koning door het uiten van de tautologie d1 → d2 geen
enkele informatie geeft over de werkelijke situatie, omdat zijn uiting in elke situatie waar is; dit
geldt voor tautologieën in het algemeen.
Opdracht 2.17 Er is trouwens ook een verband tussen de noties van tautologie en logisch gevolg:
B is een logisch gevolg van A precies dan als de formule A → B een tautologie is. Kun je
beredeneren waarom dit zo is?
Opdracht 2.18 Ga met waarheidstabellen na welke formules tautologieën zijn.
1. p → (q ∨ p)
2. (p → q) → (p → ¬r)
3. ¬(p ∨ q) ↔ (¬p ∧ ¬q)
Als de gevangene beseft dat hij in feite geen enkele informatie van de koning heeft gekregen
vraagt hij de koning opnieuw om hem iets over de waarheid of onwaarheid van de bordjes te
vertellen. De koning bedenkt nu dat het toch wel billijk is de gevangene ten minste een kleine
hint te geven, en hij zegt: ‘De bordjes op de twee deuren zijn niet allebei waar.’ Weer gaat de
gevangene aan de slag: Als de koning de waarheid spreekt moet dus de formule ¬(d1 ∧ d2) waar
zijn. Hij maakt opnieuw een waarheidstabel (kijk nog maar even niet naar de laatste kolom).
p1 p2 d1 d2 ¬(d1 ∧ d2) ¬p2 → ¬p1
0 0 0 0 1 1
0 1 0 1 1 1
1 0 1 1 0 0
1 1 0 0 1 1
De enige situatie die de bewering van de koning uitsluit (0 in de waarheidstabel) is de situatie
met een prinses achter deur 1 en een tijger achter deur 2. De beste strategie voor de gevangene
zou dus zijn om deur 2 te openen. Het zou kunnen dat hij dan nog steeds een tijger ontmoet,
maar in dat geval had er achter deur 1 ook een tijger gezeten. De twee formules ¬p2 → ¬p1 en
¬(d1 ∧ d2) zijn in feite (logisch) equivalent, dat wil zeggen: zij hebben dezelfde waarheidswaarde