Denkende Machines -- Computers, rekenen, redeneren - CWI

82 HOOFDSTUK 3. MODELLEN VAN BEREKENING
komma in een niet-geheel getal geen lang register nodig, en hetzelfde geldt voor het representeren
van de toetsenbordsymbolen (Engels: characters, vaak afgekort als char). In veel programmeertalen
is er ook gelegenheid voor de programmeur om zelf types te construeren om objecten van
allerlei slag te definiëren. In programmeertalen als C en Java zijn de mogelijkheden hiertoe
vrijwel onbeperkt.
3.4 Rekentijden
3.4.1 Berekenbaarheid
Toen Turing zijn algemene model van een rekenmachine ontwikkelde was zijn bedoeling om te
laten zien dat hoe algemeen je je begrip ‘berekenbaar’ ook kiest, er altijd vragen zijn waarop een
rekenmachine het antwoord schuldig moet blijven. Een beroemd voorbeeld is het stop probleem
(Engels: halting problem). Hierbij gaat het om de vraag of er een programma geschreven kan
worden dat kan bepalen of een ander gegeven programma eindigt bij uitvoering. Van sommige
programmatuur, zoals klokken of besturingssystemen, willen we dat ze niet stoppen, maar de
meeste programma’s moeten juist niet ‘hangen’, en wekken ergernis wanneer ze dat onverhoopt
wel doen. Een programma dat kan nagaan of een ander programma zou kunnen gaan ‘hangen’
zou behoorlijk wat geld opleveren. Ons standaard-voorbeeld van een programma dat hangt is
het volgende:
x+; while (x?) {x+}
Om de stopvraag te preciseren: er wordt gevraagd om een programma HALT, dat bij invoer van
een ander programma P als antwoord ‘ja’ geeft indien P eindigt en ‘nee’ indien P niet eindigt
als P begint met alleen maar lege registers. We moeten hiertoe programma’s coderen volgens
een of andere vaste methode. Dat kan op een eenvoudige manier. In een programmeertaal zoals
RePro, ImPro en ImPro+ gebruiken we maar een eindig aantal verschillende symbolen. Zeg dat
de taal n verschillende symbolen gebruikt. Dan kan elk programma in zo’n taal dus opgevat
worden als een getal gerepresenteerd in het n-tallig stelsel.
HALT moet nu werken zoals een ImPro+-test: het geeft voor een stoppend programma
gecodeerd in een vast gekozen invoerregister x een niet-lege inhoud op een eveneens vast gekozen
uitvoerregister y. Stel dat we zo’n programma in ImPro+ hebben. We noemen het programma
HALT, en we schrijven vervolgens de volgende uitbreiding van HALT, het programma Q.
x := q; HALT; if (y?) { z+; while (z?) { z+ } } else { z+;z- }
Hierbij is q de getalscode van het programma Q.
Opdracht 3.26 Leg uit waarom we een fout resultaat krijgen wanneer we HALT uitvoeren op
het programma Q.