Denkende Machines -- Computers, rekenen, redeneren - CWI

68 HOOFDSTUK 3. MODELLEN VAN BEREKENING
Figuur 3.5: Tabel van de uitvoering van het sorteerprocédé.
stap tape/kop toestand stap tape/kop toestand
0. ˆ baba 0 10. abb ˆ b 2
1. bâba 1 11. ab ˆ bb 2
2. b ˆ bba 2 12. a ˆ bbb 2
3. ˆ bbba 2 13. âbbb 2
4. ˆbbba 2 14. a ˆ bbb 3
5. ˆ bbba 3 15. aâbb 3
6. âbba 3 16. aa ˆ bb 0
7. a ˆ bba 0 17. aab ˆ b 1
8. ab ˆ ba 1 18. aabbˆ 1
9. abbâ 1 STOP
3.2.2 Een Kwadraterende Turing Machine
Van het sorteervoorbeeld hierboven raak je misschien nog niet overtuigd van de rekenkracht van
Turing machines. Wellicht dat het volgende voorbeeld wat dat betreft meer tot de verbeelding
spreekt: een kwadraterende Turing machine. Zijn interne transitiestructuur is gegeven in Figuur
3.6. Deze machine geeft voor een gegeven rijtje a-tjes van lengte n een a-rijtje van lengte
n 2 terug. We gaan hier niet stap voor stap de machine doorlopen, maar geven je een schets van
het algoritme. Hierbij wordt gebruikgemaakt van de volgende stelling.
Voor een gegeven natuurlijk getal n geldt dat zijn kwadraat gelijk is aan de som van
de eerste n oneven getallen.
Je kunt dit inzien door 0 2 = 0, 1 2 = 1 en 2 2 = 4 te beschouwen, en op te merken dat het verschil
van de verschillen van opvolgende kwadraten constant is (zie hoofdstuk 1). In het geval van n 2
is deze constante gelijk aan 2.
0 2 = 0 1
1 2 = 1 2
3
2 2 = 4
Je kunt al zien dat 2 2 = (1+2)+1 = 3+1 = 4. Zo verdergaand is 3 2 = (3+2)+3+1 = 5+3+1 = 9.
Voor grotere getallen krijg je zodoende n 2 = (2n − 1) + (2n − 3) + . . . + 3 + 1.
Opdracht 3.12 Het volgende plaatje toont ook aan dat de som van de eerste n oneven getallen
gelijk is aan n 2 . Hoe?