Denkende Machines -- Computers, rekenen, redeneren - CWI

Hoofdstuk 3
Modellen van Berekening
In het eerste hoofdstuk hebben we kennisgemaakt met allerlei verschillende soorten rekenapparatuur.
Dit was nog maar een uiterst bescheiden greep uit wat er allemaal door de geschiedenis
heen bedacht is om het rekenen te automatiseren. In dit hoofdstuk willen we laten zien hoe
je, zonder je druk te maken over allerlei technische moeilijkheden aangaande de hardware en
computerarchitectuur, op een tamelijk eenvoudige en heldere manier kunt begrijpen wat automatische
rekenprocessen zijn. Hiervoor gebruiken we abstracte machinemodellen waarmee
we zicht kunnen krijgen op welke problemen zich – met wat voor middelen dan ook – laten
automatiseren.
In het begin van de twintigste eeuw werd door sommige vooruitdenkende wiskundigen nog
verondersteld dat uiteindelijk alle rekenproblemen zich in computerprogramma’s zouden laten
vangen. Wiskundigen houden niet erg van losse veronderstellingen en zij stelden zich dan ook
ten doel hun gevoel van optimisme wiskundig te funderen, met behulp van een bewijs. De vraag
was natuurlijk hoe je zoiets kon bewijzen: er moest als eerste een wiskundige definitie gegeven
worden van wat het betekent dat een probleem automatisch/mechanisch oplosbaar is. In de jaren
dertig introduceerde de Britse wiskundige Alan Turing, de hoofdrolspeler in dit hoofdstuk, een
voor iedereen bevredigend wiskundige formalisering van wat machinale berekenbaarheid behelst.
Turing was niet de eerste met zo’n model. De Amerikaanse wiskundige Alonso Church had
korte tijd voor Turing al een definitie gegeven die echter wel een stuk ingewikkelder was.
Turing heeft overigens bewezen dat zijn definitie op hetzelfde neer kwam als die van Church.
Turing liet vervolgens zien dat er rekenproblemen zijn die niet automatisch kunnen worden
opgelost. In dit hoofdstuk zullen we zijn eenvoudige en elegante model, de naar hem genoemde
Turing machines, introduceren. We laten zien hoe je ze kan laten rekenen en vervolgens zullen
we op een informele manier laten zien waarom er rekenproblemen zijn waar geen Turing machine
voor te ontwerpen is.
3.1 Automaten
3.1.1 Simpele Automaten, Keuze-Automaten, Computers
Automaten zijn apparaten die eenmaal in gang gezet zelf een bepaalde handeling of serie handelingen
uitvoeren. Het in gang zetten van een automaat gebeurt met het geven van een
61