Denkende Machines -- Computers, rekenen, redeneren - CWI

56 HOOFDSTUK 2. REKENEN EN REDENEREN
in elke situatie. In een waarheidstabel kun je dit heel makelijk zien: in elk rijtje hebben de twee
formules hetzelfde getal (0 of 1) staan.
Evenals de notie van logisch gevolg valt ook de notie van logische equivalentie uit te drukken
in termen van een tautologie. Formules A en B zijn logisch equivalent precies dan als de formule
(A → B) ∧ (B → A) een tautologie is.
Opdracht 2.19 Welke van de volgende tweetallen formules zijn logisch equivalent?
1. p ↔ (q ↔ r) en (p ↔ q) ↔ r
2. p ∧ (q ∨ r) en (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
3. ¬¬(p ∧ q) en p ∧ q ∧ r
4. p → q en ¬p ∨ q
2.4.4 Redeneren als Manipuleren van Informatietoestanden
We kunnen het proces van redeneren als volgt opvatten. Bij elke bewering a hoort de verzameling
van alle situaties waar a waar is. Noem die verzameling van situaties A. Net zo: noem de
verzameling van alle situaties waar a niet waar is Ā. Zo’n verzameling kunnen we zien als
een informatietoestand: de ‘mogelijke toestanden van de wereld gezien onze huidige kennis’.
Naarmate we meer informatie krijgen, krimpt de klasse situaties voor de beweringen tot nu toe
(krimp in onzekerheid is kennisgroei). Of een conclusie geldig is hangt af van de eindtoestand
die bereikt is na dynamische verwerking van de premissen. Hier is het geval van Contrapositie.
We laten zien dat na verwerking van de informatie a → b en ¬b we in een informatietoestand
zijn aangeland waar ¬a geldt.
begintoestand (geen informatie) {AB, A ¯ B, ĀB, Ā ¯ B}
update met a → b leidt tot {AB, ĀB, Ā ¯ B}
update met ¬b leidt tot { Ā ¯ B}
test op ¬a slaagt.
De ongeldige variant met a → b, ¬a geeft toestand { ĀB, Ā ¯ B} waar ¬B niet opgaat. Hier is nog
een voorbeeld.
begintoestand {ABC, A ¯ BC, ĀBC, Ā ¯ BC, AB ¯ C, A ¯ B ¯ C, ĀB ¯ C, Ā ¯ B ¯ C}
update met a ∨ b {ABC, A ¯ BC, ĀBC, AB ¯ C, A ¯ B ¯ C, ĀB ¯ C}
update met ¬a ∨ c {ABC, A ¯ BC, ĀBC, ĀB ¯ C}
De conclusie b ∨ c volgt hier door directe inspectie van de eindtoestand. Maar de exclusieve
disjunctie òf b òf c volgt niet, zoals blijkt uit de open mogelijkheden ABC, ĀBC. Merk ook
nog op dat de premissen samen sterker zijn (meer informatie bevatten) dan de conclusie b ∨ c.
Immers, gevallen als AB ¯ C zijn uitgesloten, hoewel compatibel met deze laatste bewering. (Een
echt optimale conclusie is de conjunctie der premissen: (a ∨ b) ∧ (¬a ∨ c).) Verder gebruik
van deze dynamische kijk: aan het aantal wegvallende mogelijkheden kun je precies meten hoe
informatief een nieuwe bewering in een gegeven informatietoestand is.