Poglavlje 2 Slučajna varijabla

Primjeri parametarski diskretnih distribucija 95
Definicija 2.7. Diskretna slučajna varijabla X ima hipergeometrijsku
distribuciju s parametrima N, M i n, N,M,n ∈ N, ako prima vrijednosti
iz skupa R(X) ={k ∈ N :max(0,n− N + M) ≤ k ≤ min (n, M)} s
vjerojatnostima
� �� �
M N − M
k n − k
pk = P {X = k} = � � .
N
n
Pokažimo da je na ovaj način dobro definirana distribucija, tj. da je n�
pk =
k=0
1. Primjenom Vandermondeove konvolucije slijedi:
� �� �
M N − M
n� n� k n − k
pi = � � =
N
k=0 k=0
n
1
� �
N
n�
� �� �
M N − M n
� �
= � � =1.
N k n − k N
k=0
n
n
Primjer 2.21. Na polici se nalazi 10 knjiga od kojih su 4 kriminalistički romani. Na
slučajan način biramo 5 knjiga. Slučajna varijabla X koja modelira broj kriminalističkih
romana od 5 odabranih knjiga ima hipergeometrijsku distribuciju s parametrima N =10,
M =4i n =4. Slika slučajne varijable X je skup R(X) ={0, 1, 2, 3, 4}. Na temelju
poznatih informacija možemo izračunati sljedeće i slične vjerojatnosti:
a) vjerojatnost da su odabrana točno 3 kriminalištička romana:
� � � �
4 10 − 4
·
3 5 − 3
P {X =3} = � � =
10
5
5
21 ,
b) vjerojatnost da su odabrana najviše 3 kriminalištička romana:
P {X ≤ 3} = P {X =0} + P {X =1} + P {X =2} + P {X =3} = 41
42 ,
c) vjerojatnost da su odabrana najmanje 3 kriminalištička romana:
P {X ≥ 3} =1− P {X