Poglavlje 2 Slučajna varijabla

Numeričke karakteristike slučajne varijable 109
funkciju g(a) =E(X − a) 2 = EX2 − 2aEX + a2 na R, korištenjem tehnika
diferencijalnog računa lako vidimo da ona postiže minimum upravo u vrijednosti
a = EX.
Primjer 2.29. Ilustrirajmo značenje očekivanog kvadratnog odstupanja slučajne varijable
od konstante na primjerima.
a) Neka je slučajna varijabla X zadana tablicom distribucije
�
�
X =
1 2 3 4
.
Tada je
1
4
1
4
E(X − a) 2 2 1 1 1 1
=(1−a) +(2−a)2 +(3−a)2 +(4−a)2 4 4 4 4
funkcija varijable a. Minimum ove funkcije je točno prosjek vrijednosti koje slučajna
varijabla može postići, tj. 2.5. Uočimo da se ovdje sve vrijednosti reliziraju s istom
vjerojatnošću (slika 2.21).
b) Neka je slučajna varijabla X zadana tablicom distribucije
�
�
X =
1 2 3 4
.
1
8
1
8
Tada
E(X − a) 2 2 1 1 1 5
=(1−a) +(2−a)2 +(3−a)2 +(4−a)2 8 8 8 8
kao funkcija varijable a postiže minimum koji nije jednak prosjek vrijednosti koje
slučajna varijabla može primiti jer se vrijednost 4 realizira bitno većom vjerojatnošću
nego ostale vrijednosti iz R(X). Ovdje je minimum za a =3.5, tj. "povučen" je
prema 4 (slika 2.21).
1
4
1
8
1
4
5
8