Poglavlje 2 Slučajna varijabla

136 Slučajna varijabla
nosaču funkcije gustoće, tj. na skupu {x ∈ R : f(x) > 0}, neprekidna rastuća
bijekcija. Za funkciju distribucije FU slučajne varijable U = F (X) vrijedi:
⎧
⎪⎨ 0 , u < 0
FU(u) =P {U ≤ u} = P {F (X) ≤ u} = P {X ≤ F
⎪⎩
−1 (u)}
1
,
,
u ∈ [0, 1)
,u ≥ 1
.
Obzirom da je P {X ≤ F −1 (u)} = F (F −1 (u)) = u, vidimo da je U ∼U(0, 1)
i to neovisno o funkciji distribucije F sve dok je ona funkcija distribucije
neprekidne slučajne varijable.
Pogledajmo i drugi smisao ovog rezultata. Pođimo od slučajne varijable
U ∼U(0, 1). Odaberimo funkciju distribucije F neprekidne slučajne varijable
X koju želimo modelirati. Očigledno je da se distribucija slučajne varijable
X može dobiti kao distribucija kompozicije F −1 (U). Naime, vrijedi:
P {F −1 (U) ≤ x} = P {U ≤ F (x)} = F (x).
Dakle, ako trebamo generirati n podataka iz neprekidne slučajne varijable
s distribucijom F , dovoljno je da imamo niz podataka (ui,i =1,...,n) iz
U(0, 1). Tražene podatke tada dobijemo kao (F −1 (ui),i=1,...,n).
Za generiranje realizacija uniformne distribucije na 〈0, 1〉 danas se koriste
takozvani generatori slučajnih brojeva koji su ugrađeni u sve naprednije računalne
programe.
Uniformna distribucija na intervalu 〈0, 1〉 može se također iskoristiti i za
generiranje realizacija diskretnih distribucija. Zainteresirani čitatelj može
više informacija o tome pronaći npr. u [8].
2.9 Zadaci
Zadatak 2.1. Promotrimo slučajan pokus koji se sastoji od bacanja pravilno izrađenog
novčića dva puta za redom. Neka je X slučajna varijabla čija je vrijednost broj realiziranih
pisama. Odredite tablicu distribucije slučajne varijable X.