Poglavlje 2 Slučajna varijabla

132 Slučajna varijabla
Da bismo izrazili P {g(X) ≤ y} u terminima P {X ∈ A} za neki skup A ⊆ R
(tj. u terminima funkcije distribucije slučajne varijable X) potrebno je riješiti
nejednadžbu
g(x) ≤ y.
Obzirom da je g bijekcija s R na R(g) ⊆ R, postupak rješavanja ovisi samo
o tome da li je g monotono rastuća ili monotono padajuća funkcija.
• Neka je g : R →R(g) monotono rastuća funkcija.
Tada za sve y ∈R(g) vrijedi:
FY (y) =P {Y ≤ y} = P {g(X) ≤ y} = P {X ≤ g −1 (y)} = FX(g −1 (y)).
Ako je funkcija g derivabilna na R, onda je i funkcija FX(g −1 (y)) derivabilna
na R(g) pa možemo definirati funkciju
fY (y) = dFX(g −1 (y))
dy
= fX(g −1 (y))[g −1 (y)] ′
, y ∈R(g).
Uočimo da je fY nenegativna funkcija obzirom da su FX i g monotono rastuće
funkcije. Također vrijedi:
�
fX(g −1 (y))[g −1 (y)] ′
�
dy = fX(x) dx =1.
R(g)
Sada možemo proširiti funkciju fY (y) na cijeli R tako da definiramo:
�
fX(g
fY (y) =
−1 (y))[g−1 (y)] ′
, y ∈R(g)
.
c 0 , y ∈ (R(g))
• Neka je g : R →R(g) monotono padajuća funkcija.
Tada za sve y ∈R(g) vrijedi:
FY (y) =P {Y ≤ y} = P {g(X) ≤ y} = P {X ≥ g −1 (y)} =
=1− P {X