Poglavlje 2 Slučajna varijabla

112 Slučajna varijabla
Propozicija 2.2 (Čebiševljeva nejednakost). Neka je X slučajna vrijabla
koja ima varijancu σ2 te neka je dan broj k>0. Tada vrijedi:
P {|X − μ| ≥kσ} ≤ 1
,
k2 gdje je μ očekivanje slučajne varijable X.
U dokazu ove propozicije iskoristit ćemo sljedeću nejednakost koja je općenito
vrlo korisna u teoriji vjerojatnosti.
Teorem 2.4. Neka je X slučajna varijabla na vjerojatnosnom prostoru (Ω, P(Ω),P)
i g nenegativna funkcija definirana na R(X) takva da postoji Eg(X). Tada
za svaki ε>0 vrijedi:
P {g(X) ≥ ε} ≤ Eg(X)
.
ε
Dokaz. Prije svega, uočimo jednu općenito korisnu činjenicu: ako je A ∈
P(Ω) neki skup, označimo li
�
1 , ω ∈ A
IA(ω) =
0 , ω /∈ A ,
IA je slučajna varijabla na Ω koju možemo iskoristiti za povezivanje vjerojatnosti
skupa A i pojma očekivanja slučajne varijable. Naime, distribucija ove
slučajne varijable dana je tablicom
� �
0 1
IA =
, p = P {IA =1} = P {A}.
1 − p p
Dakle, vrijedi:
EIA = P (A).
Korištenjem ovog načina označavanja, monotonosti i linearnosti očekivanja
te nenegativnosti funkcije g vidimo da za svaki ε>0 vrijedi:
Eg(X) = E(g(X)I{g(X)≥ε} + g(X)I{g(X)